Esponenziale di matrice e risposte dei sistemi

Riassunto

La soluzione esplicita di un sistema lineare lega la risposta libera alla matrice esponenziale $e^{At}$, mentre la risposta forzata si calcola per convoluzione con la matrice delle risposte impulsive. Un cambio di coordinate dello stato conserva gli autovalori ma semplifica la struttura di $A$: per una matrice diagonalizzabile, una base di autovettori disaccoppia l'evoluzione libera in modi indipendenti. L'esponenziale di matrice si calcola in forma esplicita usando autovalori e autovettori. Per autovalori reali distinti, la matrice di transizione è una somma di matrici residue, ciascuna moltiplicata per un esponenziale scalare. Per una coppia complessa coniugata, una rappresentazione reale produce un blocco bidimensionale che genera oscillazioni con inviluppo esponenziale, determinando traiettorie convergenti, divergenti o periodiche a seconda del segno della parte reale.

Concetti chiave

• Evoluzione libera — risposta dello stato dovuta alla condizione iniziale, in assenza dell'ingresso; è governata da $e^{At}$.
• Evoluzione forzata — risposta dovuta all'ingresso applicato, espressa tramite convoluzione.
• Risposta impulsiva — risposta del sistema a un impulso unitario applicato a un ingresso; la colonna corrispondente della matrice di risposta impulsiva descrive l'uscita dovuta a quel canale.
• Matrice di transizione — matrice $\Phi(t)=e^{At}$ che propaga lo stato iniziale nel tempo.
• Molteplicità algebrica — molteplicità con cui un autovalore compare come radice del polinomio caratteristico.
• Molteplicità geometrica — dimensione dell'autospazio associato a un autovalore, uguale alla nullità di $A-\lambda I$.
• Autovettore destro — vettore colonna che soddisfa $Au_i=\lambda_i u_i$.
• Autovettore sinistro — covettore riga che soddisfa $v_i^{T}A=\lambda_i v_i^{T}$.
• Residuo modale — matrice $u_i v_i^{T}$ di rango uno associata a un autovalore semplice.
• Autovettore generalizzato — vettore usato nella forma di Jordan quando le molteplicità algebrica e geometrica non coincidono.

Sviluppo

Evoluzione libera e modo di convergenza

Si consideri un sistema scalare con autovalore $-2$ sottoposto a un gradino unitario. La risposta forzata contiene un termine esponenziale legato al sistema e un termine costante legato all'ingresso, $\frac12(1-e^{-2t})$, con valore a regime $0{,}5$. La risposta libera contiene un termine proporzionale a $e^{-2t}$. Poiché l'autovalore ha parte reale negativa, questo contributo si estingue nel tempo; decade anche il termine transitorio della risposta forzata, mentre resta il valore determinato dall'ingresso.

Un sistema lineare sottoposto a un ingresso canonico (impulso, gradino, rampa) presenta quindi una risposta composta da un termine transitorio, legato agli autovalori, e un termine di regime, determinato dall'ingresso. La parte reale negativa produce convergenza, quella positiva divergenza, quella nulla limitatezza. Interessano il valore di assestamento, il tempo necessario per raggiungerlo e il modo in cui il sistema ci arriva: la risposta può essere regolare oppure presentare oscillazioni. Come nella frenata di un treno, paragonabile a un sistema massa-molla-smorzatore, non conta soltanto la posizione di equilibrio finale, ma anche la traiettoria e le oscillazioni durante il transitorio. La velocità con cui i termini transitori si estinguono dipende dagli autovalori.

Ingressi canonici

Una classe utile di ingressi comprende segnali sinusoidali, utili a esprimere segnali periodici, e segnali polinomiali della forma $t^k/k!$; fra questi, nello studio si usano soprattutto impulso, gradino e rampa. Se si applica un impulso al solo ingresso $i$, la colonna $i$ della matrice di risposta impulsiva descrive la risposta risultante, e la risposta impulsiva fornisce così un modello del comportamento del sistema. La risposta al gradino è utile per ricavare caratteristiche indicative del sistema e valutare il rispetto di specifiche.

Rappresentazione implicita ed esplicita

Il modello implicito descrive il sistema tramite le matrici $A,B,C,D$ delle equazioni differenziali. Il modello esplicito esprime lo stato e l'uscita in funzione della condizione iniziale e dell'ingresso, utilizzando la matrice di transizione e le matrici delle risposte impulsive. I due modelli sono equivalenti: da uno si ricavano le matrici dell'altro tramite derivate e valutazioni in zero.

Cambio di coordinate e similitudine

Applicare un cambio di coordinate dello stato $z=Tx$ trasforma le matrici del modello implicito secondo:

$\widetilde A=TAT^{-1}, \quad \widetilde B=TB, \quad \widetilde C=CT^{-1}, \quad \widetilde D=D$

La similitudine conserva gli autovalori. Se si scelgono gli autovettori come base, la matrice $A$ diventa diagonale (o a blocchi reali per le coppie complesse), semplificando il calcolo dell'esponenziale. La risposta impulsiva in uscita $W(t)$ rimane invariata: è un invariante ingresso-uscita.

Diagonalizzabilità e forme canoniche

La molteplicità geometrica di un autovalore è la caduta di rango di $A-\lambda I$, cioè la dimensione dello spazio delle soluzioni di $(A-\lambda I)u=0$; per autovalori distinti coincide con la molteplicità algebrica. Una matrice è diagonalizzabile se per ogni autovalore la molteplicità geometrica coincide con quella algebrica. In questo caso gli autovettori destri formano una base: disponendoli come colonne di una matrice, si trasforma $A$ in una matrice diagonale. Se le molteplicità non coincidono, occorre un autovettore generalizzato e si ricorre alla forma di Jordan, con blocchi di dimensione maggiore di uno per gli autovalori deficienti.

Per esempio, due matrici triangolari con autovalori $-2$, $1$ e $1$ possono comportarsi diversamente: se l'autovalore $1$ ha molteplicità geometrica due, si possono costruire due autovettori indipendenti per quell'autovalore; se la molteplicità geometrica è uno, la matrice non è diagonalizzabile e si riconduce a una forma di Jordan.

Esponenziale di matrice con autovalori reali distinti

Per autovalori reali e distinti, l'esponenziale di matrice si esprime come:

$e^{At}=\sum_{i=1}^{n}e^{\lambda_i t}u_i v_i^{T}$

dove $u_i$ e $v_i^T$ sono gli autovettori destri e sinistri, normalizzati in modo che $v_i^T u_j = \delta_{ij}$. Ogni termine è il prodotto di un fattore temporale scalare $e^{\lambda_i t}$ e di una matrice residua $u_i v_i^T$ di rango uno.

Esempio con una matrice bidimensionale

Per $A=\begin{pmatrix}0&1\\-2&-3\end{pmatrix}$ il polinomio caratteristico è $\lambda^2+3\lambda+2=(\lambda+2)(\lambda+1)$, con autovalori $-2$ e $-1$. Una scelta di autovettori destri è $u_1=(1,-2)^T$ e $u_2=(1,-1)^T$, con autovettori sinistri $v_1^T=(-1,-1)$ e $v_2^T=(2,1)$, e

$$e^{At}=e^{-2t}\begin{pmatrix}-1&-1\\2&2\end{pmatrix}+e^{-t}\begin{pmatrix}2&1\\-2&-1\end{pmatrix}.$$

Per $t=0$ la somma dei due residui dà la matrice identità. Scelte diverse degli autovettori, purché coerenti, cambiano i singoli vettori ma non la matrice di transizione finale.

Evoluzione libera e decomposizione modale

Lo stato iniziale può essere espresso nella base degli autovettori. L'evoluzione libera è la sovrapposizione dei contributi modali:

$x(t)=\sum_{i=1}^{n}c_i e^{\lambda_i t}u_i$

dove $c_i=v_i^T x(0)$ è la componente iniziale lungo il modo $u_i$; la biortogonalità annulla i termini incrociati. Ogni modo evolve indipendentemente lungo la sua direzione caratteristica. Se l'autovalore è negativo, il modo decade verso l'origine; se è positivo, diverge; se è zero, rimane costante.

Nell'esempio con autovalori $-2$ e $-1$, entrambe le componenti decadono verso l'origine, ma quella associata a $-2$ si estingue più rapidamente: nelle fasi finali la traiettoria risente maggiormente della direzione associata al modo più lento. Con autovalori $-1$ e $1$, una componente decade e l'altra cresce, quindi la traiettoria si allontana dall'origine.

Coppie complesse coniugate e rappresentazione reale

Per una coppia di autovalori complessi coniugati $\alpha\pm j\omega$, gli autovettori complessi producono una matrice diagonale con elementi complessi. Per mantenere coordinate reali si usano la parte reale e la parte immaginaria dell'autovettore complesso come base reale del piano corrispondente. La matrice trasformata non è diagonale, ma ha un blocco reale $2\times 2$:

$\widetilde A=\begin{bmatrix}\alpha&\omega\\-\omega&\alpha\end{bmatrix}$

Esponenziale del blocco reale

L'esponenziale del blocco reale è:

$e^{\widetilde A t}=e^{\alpha t}\begin{bmatrix}\cos(\omega t)&\sin(\omega t)\\-\sin(\omega t)&\cos(\omega t)\end{bmatrix}$

Questo si interpreta come una rotazione di angolo $\omega t$ moltiplicata per un fattore esponenziale $e^{\alpha t}$. Se $\alpha<0$, la spirale converge verso l'origine; se $\alpha=0$, è periodica; se $\alpha>0$, diverge. La frequenza di oscillazione è $\omega$.

Moto sul piano della coppia complessa

In coordinate originarie, l'evoluzione si svolge nel piano generato dai vettori reali della coppia complessa. Le due componenti oscillano alla stessa frequenza e condividono l'inviluppo esponenziale. La traiettoria è una spirale convergente se $\alpha<0$, divergente se $\alpha>0$ e una traiettoria chiusa se $\alpha=0$. In un sistema di dimensione maggiore, questo piano si affianca alle direzioni associate agli eventuali autovalori reali.

Forme di Jordan e fattori polinomiali

Quando la molteplicità geometrica è inferiore a quella algebrica, compaiono blocchi di Jordan non diagonali, e la loro presenza produce fattori polinomiali oltre alla legge esponenziale. Per il blocco con autovalore zero $J=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ si ha $e^{Jt}=\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}$: nell'esponenziale compare un termine $t\,e^{0t}$. Con autovalore $-1$ il termine corrispondente è $t\,e^{-t}$.

Invarianti ingresso-uscita

Processi fisici diversi possono condividere lo stesso comportamento ingresso-uscita, anche se rappresentati con coordinate diverse. Questa equivalenza consente di trasferire intuizioni e metodi tra modelli: per esempio, tra sistemi meccanici ed elettrici. La risposta impulsiva in uscita, invariante dal cambio di coordinate, caratterizza completamente il comportamento ingresso-uscita.

Formule e dimostrazioni

Risposta esplicita e modello implicito

Modello implicito:

$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t), \quad y(t)=Cx(t)+Du(t)$

Risposta esplicita per istante iniziale $t_0=0$:

$x(t)=\Phi(t)x(0)+\int_0^t H(t-\tau)u(\tau)\,d\tau$

$y(t)=\Psi(t)x(0)+\int_0^t W(t-\tau)u(\tau)\,d\tau$

Matrici di risposta

$\Phi(t)=e^{At}, \quad H(t)=e^{At}B, \quad \Psi(t)=Ce^{At}, \quad W(t)=Ce^{At}B+D\delta(t)$

$\Phi$ è la matrice di transizione; $H$ descrive la risposta dello stato all'ingresso; $\Psi$ moltiplica lo stato iniziale nell'uscita; $W$ è la risposta impulsiva ingresso-uscita.

Ricostruzione delle matrici implicite

$A=\left.\frac{d\Phi(t)}{dt}\right|_{t=0}, \quad B=H(0), \quad C=\Psi(0)$

La matrice $D$ è il coefficiente del termine $\delta(t)$ in $W(t)$.

Proprietà di composizione

$\Phi(0)=I, \quad \Phi(t-t_0)=\Phi(t-t_1)\Phi(t_1-t_0), \quad t_1\in[t_0,t]$

$H(t-\tau)=\Phi(t-t_1)H(t_1-\tau), \quad \tau\le t_1\le t$

Cambio di coordinate

$z=Tx \quad \Rightarrow \quad \widetilde A=TAT^{-1}, \quad \widetilde B=TB, \quad \widetilde C=CT^{-1}, \quad \widetilde D=D$

$\widetilde\Phi(t)=T\Phi(t)T^{-1}, \quad \widetilde H(t)=TH(t), \quad \widetilde\Psi(t)=\Psi(t)T^{-1}, \quad \widetilde W(t)=W(t)$

Serie dell'esponenziale di matrice

$e^{At}=I+At+\frac{A^2t^2}{2!}+\frac{A^3t^3}{3!}+\cdots$

Se $\widetilde A=TAT^{-1}$, allora $e^{\widetilde A t}=Te^{At}T^{-1}$.

Autovettori destri e sinistri

$(A-\lambda_i I)u_i=0, \quad v_i^{T}(A-\lambda_i I)=0, \quad v_i^{T}u_j=\delta_{ij}$

$\delta_{ij}$ vale uno se $i=j$ e zero altrimenti.

Esponenziale con autovalori reali distinti

$e^{At}=\sum_{i=1}^{n}e^{\lambda_i t}u_i v_i^{T}$

Se un autovalore è ripetuto ma la matrice è diagonalizzabile, i residui con lo stesso autovalore si sommano e la matrice risultante ha rango pari alla dimensione dell'autospazio.

Evoluzione libera con coordinate modali

$x(t)=e^{At}x(0)=\sum_{i=1}^{n}c_i e^{\lambda_i t}u_i, \quad c_i=v_i^{T}x(0)$

Blocco reale e sua esponenziale

$\widetilde A=\begin{bmatrix}\alpha&\omega\\-\omega&\alpha\end{bmatrix}, \quad e^{\widetilde A t}=e^{\alpha t}\begin{bmatrix}\cos(\omega t)&\sin(\omega t)\\-\sin(\omega t)&\cos(\omega t)\end{bmatrix}$

Contributo della coppia complessa

Nelle coordinate originarie:

$e^{At}\text{(parte relativa alla coppia)}=e^{\alpha t}\left[\cos(\omega t)(u_a v_a^{T}+u_b v_b^{T})+\sin(\omega t)(u_a v_b^{T}-u_b v_a^{T})\right]$

dove $u_a,u_b$ sono i vettori reali derivati dalla coppia complessa.

Evoluzione sul piano della coppia

$x(t)=e^{\alpha t}\left[u_a\big(c_a\cos(\omega t)+c_b\sin(\omega t)\big)+u_b\big(c_b\cos(\omega t)-c_a\sin(\omega t)\big)\right]$

dove $c_a,c_b$ sono le coordinate iniziali nel piano della coppia.