Sistemi lineari: stato e risposta impulsiva

Riassunto

Il modello matematico dei sistemi lineari tempo-invarianti combina un'equazione di stato e un'equazione di uscita. La soluzione esplicita comprende l'evoluzione libera, determinata dalle condizioni iniziali, e l'evoluzione forzata, determinata dall'ingresso. L'esponenziale di matrice generalizza l'esponenziale scalare e permette di esprimere la soluzione anche quando l'ingresso non è nullo. Le matrici di transizione e di risposta impulsiva compattano le espressioni; la risposta dell'uscita si calcola come somma di un contributo dovuto alle condizioni iniziali e della convoluzione della risposta impulsiva in uscita con l'ingresso. La risposta impulsiva in uscita rimane invariata al cambio di coordinate dello stato e caratterizza completamente il comportamento ingresso-uscita del sistema.

Concetti chiave

• Stato — vettore che descrive il comportamento interno del sistema; la sua evoluzione dipende dalle condizioni iniziali e dagli ingressi.
• Ingresso — segnale applicato al sistema, indicato con $u$ o $\vec{u}$.
• Uscita — grandezza osservata, legata allo stato e all'ingresso.
• Modello implicito — descrizione del sistema tramite equazioni differenziali senza esprimere la soluzione come funzione esplicita del tempo.
• Funzione generatrice — legame differenziale $A\vec{x}+B\vec{u}$ tra stato e ingresso.
• Trasformazione di uscita — relazione istantanea $\vec{y}=C\vec{x}+D\vec{u}$.
• Sistema tempo-invariante — sistema le cui matrici sono costanti; il comportamento dipende dal tempo trascorso, non dall'istante assoluto.
• Evoluzione libera — contributo dovuto alle condizioni iniziali in assenza di ingresso.
• Evoluzione forzata — contributo dovuto all'ingresso con condizioni iniziali nulle.
• Matrice di transizione — matrice $\Phi(t)=e^{At}$ che propaga lo stato iniziale.
• Risposta impulsiva nello stato — matrice $H(t)=e^{At}B$ che descrive la risposta dello stato a impulsi in ingresso.
• Risposta impulsiva in uscita — matrice $W(t)=Ce^{At}B+D\delta(t)$ che descrive la risposta dell'uscita a impulsi in ingresso.
• Integrale di convoluzione — formula che combina la risposta impulsiva con l'ingresso per determinare la risposta forzata.
• Problema diretto — calcolare l'uscita dato il sistema e l'ingresso.
• Identificazione — ricostruire il modello osservando uscite a ingressi scelti.

Sviluppo

Evoluzione libera e forzata nel caso scalare

Per un sistema scalare $\dot{x}=ax+bu$ con condizione iniziale $x(t_0)$ e ingresso $u(t)$, la soluzione è la somma di due termini: l'evoluzione libera $e^{a(t-t_0)}x(t_0)$, determinata dalla condizione iniziale, e l'evoluzione forzata, un integrale che combina l'ingresso con la propagazione tramite l'esponenziale. Per un sistema tempo-invariante, conta il tempo trascorso dalla condizione iniziale, non l'istante assoluto.

Estensione al sistema matriciale

Nel caso multidimensionale con ingresso nullo, la soluzione ha forma simile a quella scalare, ma l'esponenziale scalare è sostituito dall'esponenziale di matrice. Con ingresso presente, la soluzione libera è ancora $e^{At}x(t_0)$, mentre la forzata è un integrale con l'esponenziale di matrice che propaga il contributo dell'ingresso nel tempo.

Modello implicito e stazionarietà

Un sistema lineare è descritto dall'equazione di stato $\dot{\vec{x}}=A\vec{x}+B\vec{u}$ e dall'equazione di uscita $\vec{y}=C\vec{x}+D\vec{u}$. Questa rappresentazione è implicita perché non esprime direttamente la soluzione. Nel caso tempo-invariante le matrici sono costanti. La funzione generatrice $A\vec{x}+B\vec{u}$ lega lo stato all'ingresso tramite una relazione differenziale. La trasformazione di uscita è istantanea: l'uscita attuale dipende solo dallo stato e dall'ingresso attuali. Tuttavia, lo stato presente incorpora tutta la storia passata tramite le condizioni iniziali e gli ingressi precedenti.

Schema di simulazione

Un sistema lineare può essere realizzato usando integratori, nodi di somma e guadagni. Si integra $\dot{\vec{x}}$ con la condizione iniziale per ottenere $\vec{x}$; le equazioni di stato e di uscita vengono implementate collegando i blocchi secondo le matrici $A,B,C,D$. Lo schema consente di visualizzare il flusso dei segnali e di simulare il comportamento. Per un sistema massa-molla-smorzatore con due stati, $\dot{x}_1=x_2$, $\dot{x}_2=-4x_1-5x_2+{}$termine d'ingresso e $y=x_1$, un integratore ha come ingresso $x_2$ e come uscita $x_1$; $\dot{x}_2$ si ottiene sommando $x_1$ moltiplicato per $-4$, $x_2$ moltiplicato per $-5$ e il termine d'ingresso, e un secondo integratore lo trasforma in $x_2$. L'uscita è $x_1$ moltiplicato per $1$ e il termine diretto $D$ è nullo.

Esponenziale di matrice

L'esponenziale di matrice generalizza quello scalare:

$e^{At}=I+At+\frac{A^2t^2}{2!}+\frac{A^3t^3}{3!}+\cdots$

Nel caso stazionario dipende dalla differenza $t-t_0$, non dagli istanti assoluti. La derivata dell'esponenziale rispetto a $t$ è sia $Ae^{At}$ sia $e^{At}A$, proprietà che richiama il caso scalare.

Verifica della soluzione per derivazione

La soluzione del sistema con ingresso è verificata derivandola: la derivata del termine libero produce il contributo con $A$; la derivata dell'integrale, per la regola di Leibniz, produce sia il termine al bordo superiore ($B\vec{u}(t)$) sia l'integrale della derivata dell'integranda (che contribuisce $A$ all'interno). Raccogliendo i termini, si ritrova $\dot{\vec{x}}=A\vec{x}+B\vec{u}$.

Dalla soluzione esplicita al modello compatto

Sostituendo la soluzione dello stato nell'equazione di uscita si ottiene un termine dipendente dalle condizioni iniziali e uno dall'ingresso. La rappresentazione diventa più compatta introducendo le matrici di transizione $\Phi(t)=e^{At}$ e di risposta impulsiva nello stato $H(t)=e^{At}B$, e il termine di trasformazione dell'uscita $\Psi(t)=Ce^{At}$.

Matrici di risposta impulsiva

La risposta impulsiva in uscita è $W(t)=Ce^{At}B+D\delta(t)$, dove $\delta(t)$ è l'impulso di Dirac. Il termine diretto $D\vec{u}(t)$ può essere incorporato nell'integrale riscrivendo $D\vec{u}(t)$ come $\int D\delta(t-\tau)\vec{u}(\tau)d\tau$. Applicando un impulso unitario a un singolo ingresso, la colonna corrispondente di $H$ (o di $W$ per l'uscita) descrive la risposta dello stato (o dell'uscita) a quel canale.

Separazione in evoluzione libera e forzata

La risposta totale dello stato e dell'uscita si divide in due contributi indipendenti: la risposta all'evoluzione libera (ingresso nullo) e la risposta all'evoluzione forzata (condizioni iniziali nulle). Questa separazione consente di analizzare gli effetti dell'inizializzazione e della sollecitazione separatamente.

Risposta a ingressi canonici

Per un ingresso a gradino unitario costante applicato a $t \geq 0$, la risposta comprende un termine transitorio che dipende dagli autovalori del sistema e un termine di regime costante. Autovalori con parte reale più negativa producono un decadimento più rapido del transitorio: con autovalori $-10$ o $-100$, per esempio, il sistema si assesta molto prima che con $-2$. Per ingressi sinusoidali, la risposta, dopo un transitorio, è ancora sinusoidale alla stessa frequenza, ma con ampiezza e fase modificate. Per rampe, la risposta contiene una componente in rampa, oltre al transitorio.

Esercizi con gradino e rampa

Per il sistema $\dot{x}=-x+2u$, $y=x$, $x(0)=3$, la risposta libera è $3e^{-t}$. Con un gradino unitario la risposta forzata è $2(1-e^{-t})$ e la risposta complessiva è $y(t)=2+e^{-t}$: l'autovalore $-1$ fa scomparire la parte libera e l'uscita si assesta al valore $2$. Con la rampa $u=t$ la risposta forzata è $2(t-1+e^{-t})$ e si ottiene $y(t)=5e^{-t}+2t-2$: estinto il transitorio, l'uscita è la somma di una rampa $2t$ e di un gradino $-2$, cioè $2(t-1)$, l'ingresso moltiplicato per $2$ e ritardato di un'unità.

Nei sistemi in cui la risposta libera si estingue, la risposta impulsiva fornisce le informazioni importanti sul comportamento forzato.

Integrale di convoluzione

La risposta forzata è espressa da un integrale di convoluzione tra la risposta impulsiva in uscita $W$ e l'ingresso. Per un sistema stazionario, l'integrale conta il tempo trascorso dall'applicazione del segnale. Il nucleo $W$ contiene tutte le informazioni necessarie per calcolare la risposta a qualsiasi ingresso.

Significato della soluzione e incertezze

Conoscendo lo stato iniziale e l'ingresso, si può calcolare l'uscita futura. Però, nei sistemi reali, le condizioni iniziali spesso non sono note precisamente. Perturbazioni non previste possono modificare lo stato interno. Lo studio dei sistemi serve anche a comprendere qualitativamente come il sistema evolve in presenza di incertezze e perturbazioni.

Invarianza della risposta impulsiva in uscita

Un sistema può avere rappresentazioni implicite diverse, ottenute tramite cambi di coordinate dello stato. La risposta impulsiva in uscita $W(t)$ non dipende dalle coordinate scelte e caratterizza completamente il comportamento ingresso-uscita del sistema. Proprietà ingresso-uscita come assestamento, ampiezza e fase in risposta a ingressi canonici sono determinate da $W$.

Problema diretto e inverso

Il problema diretto consiste nel prevedere l'uscita dato un sistema noto e un ingresso. Il problema inverso, detto identificazione, consiste nel ricostruire il modello del sistema osservando le uscite ottenute applicando ingressi scelti.

Formule e dimostrazioni

Modello lineare tempo-continuo

$\dot{\vec{x}}(t)=A\vec{x}(t)+B\vec{u}(t), \quad \vec{y}(t)=C\vec{x}(t)+D\vec{u}(t)$

$\vec{x}(t)$ è il vettore di stato, $\vec{u}(t)$ quello degli ingressi, $\vec{y}(t)$ quello delle uscite. Per $n$ stati, $p$ ingressi e $q$ uscite: $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$, $B\in\mathbb{R}^{n\times p}$, $C\in\mathbb{R}^{q\times n}$, $D\in\mathbb{R}^{q\times p}$.

Soluzione del caso scalare

$x(t)=e^{a(t-t_0)}x(t_0)+\int_{t_0}^{t}e^{a(t-\tau)}b\,u(\tau)\,d\tau$

Il primo termine è l'evoluzione libera; l'integrale è l'evoluzione forzata.

Soluzione libera del sistema matriciale

$\vec{x}(t)=e^{A(t-t_0)}\vec{x}(t_0), \quad \vec{u}(t)=0$

Per un sistema tempo-invariante, $e^{A(t-t_0)}$ dipende solo dalla differenza $t-t_0$.

Serie dell'esponenziale di matrice

$e^{At}=I+At+\frac{A^2t^2}{2!}+\frac{A^3t^3}{3!}+\cdots$

Soluzione con ingresso non nullo

$\vec{x}(t)=e^{A(t-t_0)}\vec{x}(t_0)+\int_{t_0}^{t}e^{A(t-\tau)}B\vec{u}(\tau)\,d\tau$

Verifica della soluzione per derivazione

Applicando la regola di Leibniz all'integrale:

$\frac{d}{dt}\int_{t_0}^{t}e^{A(t-\tau)}B\vec{u}(\tau)\,d\tau=\int_{t_0}^{t}Ae^{A(t-\tau)}B\vec{u}(\tau)\,d\tau+B\vec{u}(t)$

Derivando anche il termine iniziale e raccogliendo $A$:

$\dot{\vec{x}}(t)=A\left(e^{A(t-t_0)}\vec{x}(t_0)+\int_{t_0}^{t}e^{A(t-\tau)}B\vec{u}(\tau)\,d\tau\right)+B\vec{u}(t)=A\vec{x}(t)+B\vec{u}(t)$

Uscita in forma esplicita

$\vec{y}(t)=Ce^{A(t-t_0)}\vec{x}(t_0)+\int_{t_0}^{t}Ce^{A(t-\tau)}B\vec{u}(\tau)\,d\tau+D\vec{u}(t)$

Matrici di transizione e risposta impulsiva

$\Phi(t)=e^{At}, \quad H(t)=e^{At}B, \quad \Psi(t)=Ce^{At}, \quad W(t)=Ce^{At}B+D\delta(t)$

$\Phi$ è la matrice di transizione; $H$ è la risposta impulsiva nello stato; $\Psi$ moltiplica lo stato iniziale nell'uscita; $W$ è la risposta impulsiva in uscita; $\delta(t)$ è l'impulso di Dirac.

Rappresentazione compatta

$\vec{x}(t)=\Phi(t-t_0)\vec{x}(t_0)+\int_{t_0}^{t}H(t-\tau)\vec{u}(\tau)\,d\tau$

$\vec{y}(t)=\Psi(t-t_0)\vec{x}(t_0)+\int_{t_0}^{t}W(t-\tau)\vec{u}(\tau)\,d\tau$

L'integrale nell'espressione dell'uscita è la convoluzione con il nucleo $W$.

Rappresentazione impulsiva del termine diretto

$D\vec{u}(t)=\int_{t_0}^{t}D\delta(t-\tau)\vec{u}(\tau)\,d\tau$

Esempio con ingresso a gradino

$\dot{x}=-2x+u, \quad y=x, \quad x(0)=1, \quad u(t)=1 \quad (t \geq 0)$

$x_{\mathrm{libera}}(t)=e^{-2t}, \quad x_{\mathrm{forzata}}(t)=\frac{1}{2}\left(1-e^{-2t}\right), \quad x(t)=\frac{1}{2}\left(1+e^{-2t}\right)$

L'autovalore $a=-2$ produce un decadimento esponenziale della risposta libera. La risposta complessiva parte da $x(0)=1$ e tende a $\frac{1}{2}$.

Dimensioni delle matrici

Per un sistema con $n$ stati, $p$ ingressi e $q$ uscite:

$A\in\mathbb{R}^{n\times n}, \quad B\in\mathbb{R}^{n\times p}, \quad C\in\mathbb{R}^{q\times n}, \quad D\in\mathbb{R}^{q\times p}$

$\Phi\in\mathbb{R}^{n\times n}, \quad H\in\mathbb{R}^{n\times p}, \quad \Psi\in\mathbb{R}^{q\times n}, \quad W\in\mathbb{R}^{q\times p}$

Per esempio, con $n=3$, $p=2$, $q=1$: $A$ è $3\times3$, $B$ è $3\times2$, $C$ è $1\times3$, $D$ è $1\times2$.