Evoluzione libera e modi naturali

Riassunto

La soluzione della risposta libera $x(t)=e^{At}x_0$ dipende dalla diagonalizzabilità della matrice $A$, determinata dal confronto tra molteplicità algebrica e geometrica dei suoi autovalori. Per una coppia di autovalori complessi coniugati, una rappresentazione reale a blocchi descrive il moto pseudoperiodico nel piano individuato da due vettori reali. La traiettoria si scompone in modi naturali: il segno della parte reale determina se ciascun contributo diverge, decade o rimane limitato. La costante di tempo caratterizza la rapidità di decadimento di un modo reale, mentre pulsazione naturale e smorzamento descrivono i modi pseudoperiodici. Un esercizio su un sistema del terzo ordine illustra il calcolo dello schema di simulazione, degli autovalori, degli autovettori e della traiettoria libera.

Concetti chiave

• Polinomio caratteristico — il polinomio $\det(A-\lambda I)$, le cui radici sono gli autovalori di $A$.
• Molteplicità algebrica — il numero di volte in cui un autovalore compare come radice del polinomio caratteristico.
• Molteplicità geometrica — la dimensione dell'autospazio associato a un autovalore, uguale a $n-\operatorname{rank}(A-\lambda I)$.
• Forma di Jordan — forma a blocchi usata quando la molteplicità algebrica e geometrica non coincidono; contiene blocchi diagonali e blocchi con elementi sopradiagonali.
• Autovettori destri e sinistri — i vettori usati rispettivamente come colonne del cambiamento di coordinate e come righe della sua inversa.
• Modo naturale — contributo alla risposta libera associato a un autovalore; per un autovalore reale varia secondo un esponenziale, mentre una coppia complessa genera un modo pseudoperiodico.
• Costante di tempo — parametro $\tau=-1/\lambda$ per un autovalore reale negativo; il modo si riduce a $1/e$ del valore iniziale dopo il tempo $\tau$.
• Pulsazione naturale — modulo dell'autovalore complesso $\alpha+j\omega$, indicato con $\omega_n=\sqrt{\alpha^2+\omega^2}$.
• Smorzamento — parametro $\xi=-\alpha/\omega_n$ che descrive l'attenuazione delle oscillazioni.

Sviluppo

Diagonalizzabilità e molteplicità

La risposta libera $x(t)=e^{At}x_0$ dipende dalla struttura di $A$. Un autovalore è caratterizzato da due molteplicità: la molteplicità algebrica (numero di radici coincidenti nel polinomio caratteristico) e la molteplicità geometrica (dimensione dello spazio degli autovettori). Se per ogni autovalore le due molteplicità coincidono, $A$ è diagonalizzabile e la matrice di transizione è facilmente calcolabile. Se non coincidono, la matrice assume forma di Jordan con blocchi sopradiagonali, e il calcolo dell'esponenziale è più complesso.

Coppie complesse coniugate e blocchi reali

Per una matrice reale con autovalori complessi, gli autovalori coniugati si presentano sempre a coppie. Una coppia $\alpha\pm j\omega$ può essere trasformata in un blocco reale $2\times2$:

$\widetilde A=\begin{bmatrix}\alpha&\omega\\-\omega&\alpha\end{bmatrix}$

Il vantaggio della rappresentazione reale è che il calcolo dell'esponenziale diventa esplicito e si esprime in termini di seno, coseno e un fattore esponenziale, senza passare per i numeri complessi. L'esponenziale del blocco reale è:

$e^{\widetilde A t}=e^{\alpha t}\begin{bmatrix}\cos(\omega t)&\sin(\omega t)\\-\sin(\omega t)&\cos(\omega t)\end{bmatrix}$

Modo pseudoperiodico nel piano reale

Una coppia complessa produce un moto che si svolge in un piano bidimensionale individuato dai vettori reali $u_A$ e $u_B$, derivati dalle parti reale e immaginaria degli autovettori complessi. Il movimento combina una rotazione, descritta da seno e coseno, con un inviluppo esponenziale $e^{\alpha t}$.

Se $\alpha<0$, la spirale converge verso l'origine; se $\alpha=0$, la traiettoria è un'ellisse; se $\alpha>0$, la spirale diverge. La velocità di rotazione è determinata da $\omega$, e la rapidità della convergenza o divergenza da $\alpha$.

In uno spazio tridimensionale con $u_A$ e $u_B$ sul piano $XY$ e un autovettore reale $u_1$ lungo l'asse $Z$, i modi si sommano: se l'autovalore reale è positivo e la parte reale della coppia complessa è negativa, la componente sul piano si estingue mentre quella lungo $Z$ cresce, e la traiettoria si allontana lungo l'asse $Z$. Se invece $\alpha=0$, la proiezione sul piano è un'ellisse e il moto si sviluppa su un cilindro mentre la componente lungo $Z$ cresce.

Estensione a dimensioni superiori

Per una matrice $n\times n$ diagonalizzabile con $\mu$ autovalori reali e $\nu$ coppie complesse coniugate, vale $\mu+2\nu=n$. La matrice trasformata è diagonale a blocchi: blocchi $1\times1$ per autovalori reali e blocchi $2\times2$ per coppie complesse. Elevare la matrice alla potenza corrisponde a elevare ciascun blocco alla potenza.

Scomposizione della risposta libera in modi naturali

Lo stato iniziale $x_0$ può essere espresso nella base degli autovettori (reali o complessi). Ogni autovalore reale contribuisce con un termine $e^{\lambda_j t}$ lungo il suo autovettore, mentre ogni coppia complessa contribuisce con un termine pseudoperiodico nel suo piano. La risposta libera è la sovrapposizione di questi contributi modali.

Crescita, convergenza e limitatezza

Il segno della parte reale di un autovalore determina il comportamento lungo il tempo:

• Se $\lambda>0$ o $\alpha>0$, il modo diverge.
• Se $\lambda=0$ o $\alpha=0$, il modo rimane limitato (costante nel caso reale, oscillante nel caso complesso).
• Se $\lambda<0$ o $\alpha<0$, il modo converge a zero.

Quando le molteplicità non coincidono, compaiono termini polinomiali come $t e^{\lambda t}$, $\frac{t^2}{2}e^{\lambda t}$, etc. Per $\lambda<0$ l'esponenziale domina e i termini decadono comunque; per $\lambda=0$ i termini polinomiali possono crescere indefinitamente.

Costante di tempo

Per un autovalore reale negativo $\lambda<0$, si riscrive $e^{\lambda t}$ come $e^{-t/\tau}$ dove $\tau=-1/\lambda>0$ è la costante di tempo. Al tempo $t=\tau$, il modo si è ridotto a $1/e\approx 0{,}368$ del valore iniziale. Una costante di tempo piccola corrisponde a un decadimento rapido; una costante di tempo grande a un decadimento lento.

Pulsazione naturale e smorzamento

Per una coppia complessa $\alpha\pm j\omega$, si introducono la pulsazione naturale $\omega_n=\sqrt{\alpha^2+\omega^2}$ (il modulo dell'autovalore) e lo smorzamento $\xi=-\alpha/\omega_n$ (il rapporto tra $-\alpha$ e il modulo).

• Con $\xi=0$ si ha $\alpha=0$ e le radici sono immaginarie pure; il moto è oscillatorio non attenuato.
• Con $0<\xi<1$ le radici sono complesse coniugate a parte reale negativa; il moto è oscillatorio smorzato, con oscillazioni che si attenuano.
• Con $\xi=1$ si ha $\omega=0$ e il caso degenera in radici reali coincidenti (forma di Jordan se la molteplicità geometrica è minore di quella algebrica).
• Con $\xi>1$ le radici sono reali e distinte, ambedue negative; non ci sono oscillazioni.
• Con $\xi<0$ (equivalentemente $\alpha>0$) il modo è amplificato; per $-1<\xi<0$ le radici sono complesse coniugate a parte reale positiva e le oscillazioni crescono.

Per $\omega_n=3$ e smorzamenti $0{,}1$, $0{,}3$ e $0{,}7$ si osservano in tutti i casi oscillazioni, ma aumentando lo smorzamento la loro ampiezza si riduce più rapidamente.

Esercizio: sistema del terzo ordine

Si consideri il sistema

$$\dot{x}_1=-x_1+x_2+x_3+u,\qquad \dot{x}_2=-3x_2+x_3-u,\qquad \dot{x}_3=-x_2-3x_3,\qquad y=x_3,$$

cioè $A=\begin{bmatrix}-1&1&1\\0&-3&1\\0&-1&-3\end{bmatrix}$, $B=(1,-1,0)^T$, $C=(0,0,1)$ e $D=0$.

Lo schema di simulazione si costruisce con tre integratori, uno per ciascuno stato, collegando le uscite secondo le equazioni; i guadagni e i nodi di somma realizzano i termini delle matrici $A$, $B$ e $C$. Due fili che si incrociano senza collegarsi si disegnano con un piccolo arco, per distinguere l'incrocio da un nodo.

Gli autovalori sono un autovalore reale $\lambda_1=-1$ e una coppia complessa $\lambda_{2,3}=-3\pm j$: il sistema ha un modo aperiodico e uno pseudoperiodico. Gli autovettori destri sono $u_1=(1,0,0)^T$ per $\lambda_1$ e, per la coppia, $u_A=(-1,5,0)^T$ e $u_B=(-3,0,5)^T$, parte reale e immaginaria dell'autovettore complesso $u_A+j\,u_B$ associato a $-3+j$.

Per ottenere la traiettoria libera da uno stato iniziale $x_0$ si forma la matrice con questi autovettori come colonne, se ne calcola l'inversa e se ne usano le righe come vettori sinistri $v_1^T$, $v_A^T$ e $v_B^T$. I coefficienti sono $C_1=v_1^Tx_0$, $C_A=v_A^Tx_0$ e $C_B=v_B^Tx_0$, da cui si calcolano modulo e fase $M$ e $\psi$ del contributo della coppia; la traiettoria è la sovrapposizione del modo aperiodico lungo $u_1$ e del modo pseudoperiodico nel piano di $u_A$ e $u_B$.

Convergenza di un'iterazione

Verificare che una radice sia un punto fisso di un'iterazione non dimostra che l'iterazione converga partendo da un altro valore: occorre controllare il comportamento fuori dalla radice. Per esempio, l'iterazione $x_{k+1}=x_k+M(x_k^2-a)$, con $a=4$, ha come punto fisso $\sqrt a$ e converge vicino alla radice soltanto se $\lvert 1+2M\sqrt a\rvert<1$, cioè $-1/\sqrt a<M<0$; con $M>0$ diverge. Il metodo delle tangenti dà invece $x_{k+1}=\tfrac12\left(x_k+a/x_k\right)$.

Formule e dimostrazioni

Risposta libera del sistema lineare

$\dot{x}=Ax, \quad x(t)=e^{At}x_0$

$A$ è la matrice del sistema e $x_0$ lo stato iniziale.

Polinomio caratteristico e molteplicità geometrica

$p_A(\lambda)=\det(A-\lambda I), \quad m_g=n-\operatorname{rank}(A-\lambda I)$

La quantità $m_g$ è la molteplicità geometrica, pari alla dimensione dell'autospazio. La diagonalizzazione richiede che per ogni autovalore la molteplicità geometrica uguagli quella algebrica.

Blocco reale associato a una coppia complessa

$\widetilde A=\begin{bmatrix}\alpha&\omega\\-\omega&\alpha\end{bmatrix}, \quad e^{\widetilde A t}=e^{\alpha t}\begin{bmatrix}\cos(\omega t)&\sin(\omega t)\\-\sin(\omega t)&\cos(\omega t)\end{bmatrix}$

$\alpha$ e $\omega$ sono rispettivamente la parte reale e quella immaginaria della coppia di autovalori $\alpha\pm j\omega$.

Esponenziale nella base originale

$e^{At}=e^{\alpha t}\left[\cos(\omega t)(u_Av_A^T+u_Bv_B^T)+\sin(\omega t)(u_Av_B^T-u_Bv_A^T)\right]$

$u_A,u_B$ sono i vettori destri reali associati alla coppia e $v_A^T,v_B^T$ le righe della matrice inversa del cambiamento di coordinate.

Forma del contributo complesso con fase

$C_A=v_A^Tx_0, \quad C_B=v_B^Tx_0, \quad C=C_B+jC_A=M e^{j\psi}$

$M=\sqrt{C_A^2+C_B^2}, \quad \frac{C_A}{M}=\sin\psi, \quad \frac{C_B}{M}=\cos\psi$

Il contributo della coppia si scrive come:

$x_{AB}(t)=M e^{\alpha t}\left[u_A\sin(\omega t+\psi)+u_B\cos(\omega t+\psi)\right]$

Scomposizione della risposta libera in modi naturali

$x_L(t)=\sum_{j=1}^{\mu}e^{\lambda_jt}u_jC_j+\sum_{k=1}^{\nu}M_ke^{\alpha_kt}\left[u_k^A\sin(\omega_kt+\psi_k)+u_k^B\cos(\omega_kt+\psi_k)\right]$

Il primo termine somma i contributi degli autovalori reali; il secondo somma quelli delle coppie complesse coniugate.

Conteggio degli autovalori

$\mu+2\nu=n$

Ogni autovalore reale contribuisce una radice; ogni coppia complessa coniugata contribuisce due radici.

Termini associati a blocchi di Jordan

$e^{\lambda t}, \quad t e^{\lambda t}, \quad \frac{t^2}{2}e^{\lambda t}, \quad \ldots$

Quando la molteplicità geometrica è minore di quella algebrica, appaiono fattori polinomiali moltiplicati per l'esponenziale. Per $\lambda<0$ il decadimento esponenziale domina; per $\lambda=0$ i fattori polinomiali possono crescere; per $\lambda>0$ il crescimento è comunque divergente.

Costante di tempo

$e^{\lambda t}=e^{-t/\tau}, \quad \tau=-\frac{1}{\lambda} \quad (\lambda<0), \quad e^{-1}=\frac{1}{e}$

$\tau$ è il tempo caratteristico di decadimento: al tempo $t=\tau$, il modo si è ridotto a $1/e$ del valore iniziale.

Pulsazione naturale e smorzamento

$\omega_n=\sqrt{\alpha^2+\omega^2}, \quad \xi=-\frac{\alpha}{\omega_n}$

$\omega_n$ è il modulo dell'autovalore complesso; $\xi$ è il rapporto tra $-\alpha$ e tale modulo. Per $\alpha<0$, lo smorzamento è positivo; per $\alpha>0$, è negativo.

Relazioni nei casi particolari

Per $\xi=0$ (oscillazione pura): $\alpha=0$, $\omega=\omega_n$.

Per $\xi=1$ (radici reali coincidenti): $\omega=0$, $\alpha=-\omega_n$.

Per $-1<\xi<0$ (radici complesse a parte reale positiva): $\alpha>0$, il modo è amplificato.

Per $\xi>1$ (radici reali distinte): le radici sono $\alpha\pm\sqrt{\alpha^2-\omega_n^2}$, entrambe negative se $\alpha<0$.