Sistemi lineari: stati, autovalori e risposta

Riassunto

La rappresentazione in spazio di stato descrive il sistema mediante equazioni differenziali con matrici a coefficienti costanti. Il comportamento del sistema dipende dagli autovalori e dagli autovettori della matrice di stato: quando la matrice è diagonalizzabile, un cambio di coordinate disaccoppia le equazioni e semplifica l'analisi delle traiettorie. Esempi scalari e il modello preda-predatore illustrano la crescita o il decadimento esponenziale e il ruolo del segno degli autovalori. Per un sistema con ingresso, la soluzione lineare si divide in risposta libera, dovuta alla condizione iniziale, e risposta forzata, dovuta all'ingresso. L'esponenziale di matrice fornisce la soluzione del sistema omogeneo generale, espressa mediante una serie di potenze.

Concetti chiave

• Rappresentazione in spazio di stato — Descrizione del sistema mediante le equazioni dello stato e dell'uscita, con matrici a coefficienti costanti: lo stato evolve in funzione dello stato e dell'ingresso, mentre l'uscita dipende dallo stato e, se presente, da un legame istantaneo con l'ingresso.
• Matrice di stato $A$ — Matrice che raccoglie i coefficienti dello stato nell'equazione che ne descrive l'evoluzione.
• Matrice di ingresso $B$ — Matrice che raccoglie i coefficienti dell'ingresso nell'equazione dello stato.
• Matrice di uscita $C$ — Matrice che raccoglie i coefficienti dello stato nell'equazione dell'uscita.
• Matrice di trasmissione diretta $D$ — Matrice che descrive il legame istantaneo ingresso-uscita; nel modello massa–molla–smorzatore considerato vale zero.
• Autovalore e autovettore — Un autovalore descrive una modalità associata alla matrice; il corrispondente autovettore ne determina la direzione nello spazio di stato. Il comportamento delle traiettorie dipende anche da come le coordinate iniziali si proiettano sugli autovettori.
• Sistema positivo — Sistema in cui le variabili considerate, come il numero di prede e predatori nell'esempio, possono assumere soltanto valori positivi o nulli.
• Risposta libera — Evoluzione del sistema con ingresso nullo, determinata dalla condizione iniziale.
• Risposta forzata — Parte della risposta dovuta all'ingresso applicato, descritta nel caso scalare da un integrale; viene considerata con condizione iniziale nulla.
• Sistema stazionario — Sistema per cui, a parità di condizione iniziale e di tempo trascorso, il risultato non dipende dall'istante di calendario in cui si avvia l'esperimento.
• Esponenziale di matrice — Matrice definita tramite una serie di potenze, usata per esprimere la soluzione del sistema lineare omogeneo.

Sviluppo

Rappresentazione in spazio di stato

Il sistema è descritto da variabili che dipendono dal tempo: lo stato $x(t)$, l'ingresso $u(t)$ e l'uscita $y(t)$. Le matrici $A$, $B$, $C$ e $D$ sono a coefficienti costanti, in particolare reali. Nei sistemi a tempo continuo si usano equazioni differenziali, mentre nei sistemi a tempo discreto si usano equazioni alle differenze.

Modello massa–molla–smorzatore e matrici

Per il sistema massa–molla–smorzatore si scelgono le variabili di stato $x_1=y$ e $x_2=\dot y$. Ne segue che $\dot x_1=x_2$; la seconda equazione dello stato si ottiene dall'equazione del moto. L'uscita è $y=x_1$.

Per ricavare le matrici si leggono, riga per riga, i coefficienti delle variabili di stato e dell'ingresso. La matrice $A$ raccoglie i coefficienti di $x_1$ e $x_2$ nelle equazioni dello stato; $B$ raccoglie i coefficienti di $u$; $C$ descrive l'uscita in funzione dello stato.

Dimensioni delle matrici e termine diretto

Se $x\in\mathbb{R}^n$, $u\in\mathbb{R}^m$ e $y\in\mathbb{R}^p$, allora $A$ ha dimensione $n\times n$, $B$ ha dimensione $n\times m$, $C$ ha dimensione $p\times n$ e $D$ ha dimensione $p\times m$. Nel modello considerato l'ingresso non ha un effetto istantaneo diretto sull'uscita: perciò $D=0$.

Risposte del sistema e ruolo degli autovalori

Il comportamento del sistema massa–molla–smorzatore mostra risposte diverse a seconda dei parametri: oscillazioni continue, oscillazioni smorzate oppure ritorno alla posizione di equilibrio senza oscillazioni. Questi comportamenti sono collegati alle caratteristiche degli autovalori. Per interpretare il moto occorre considerare le direzioni degli autovettori e le diverse traiettorie nello spazio di stato.

Diagonalizzazione e cambio di coordinate

Quando $A$ è diagonale, le equazioni risultano semplici da analizzare. Se gli autovalori sono reali e distinti, oppure se per ciascun autovalore la molteplicità algebrica coincide con quella geometrica, si può diagonalizzare $A$ con un cambio di base. Le nuove coordinate sono definite dagli autovettori; in tale base la matrice trasformata è diagonale. Una volta studiata la dinamica in queste coordinate, si può tornare alle coordinate originarie.

Esempio di dinamiche disaccoppiate: prede e predatori

Si considera un caso particolare con due equazioni disaccoppiate, in cui ciascuna variabile evolve autonomamente. In un modello intuitivo, una popolazione di prede con risorse abbondanti e senza predatori cresce; i predatori, senza prede, diminuiscono. L'esempio preda-predatore serve a introdurre il ruolo dei segni dei coefficienti: un coefficiente positivo produce crescita esponenziale, uno negativo decadimento.

Soluzioni scalari e segno dei coefficienti

Per l'equazione omogenea $\dot x_i=a_i x_i$, la soluzione dipende dal valore iniziale e dal tempo trascorso. Se $a_1>0$, una popolazione in tale modello cresce esponenzialmente; se $a_2<0$, un'altra decade asintoticamente verso zero. La verifica si ottiene derivando: la derivata dell'esponenziale restituisce il coefficiente $a_i$ moltiplicato per la soluzione stessa. Se il coefficiente è nullo, la variabile resta costante al proprio valore iniziale.

Il valore degli autovalori influisce anche sulla rapidità del moto: un coefficiente molto negativo comporta un decadimento più rapido, mentre uno positivo ma piccolo produce una crescita più lenta.

Interazione prede-predatori e sistemi positivi

Nel modello di Volterra-Lotka le popolazioni interagiscono: la presenza dei predatori riduce le prede e la presenza delle prede favorisce i predatori. L'esempio è detto sistema positivo perché le popolazioni non possono essere negative: assumono valori positivi o nulli.

Traiettorie del sistema diagonale

Nel sistema diagonale gli autovalori sono $a_1$ e $a_2$ e gli autovettori sono gli assi delle coordinate. Con $a_1>0$ e $a_2<0$, la componente lungo il primo asse cresce e quella lungo il secondo decresce; il moto complessivo è la traiettoria risultante dalle due componenti. Se un autovalore è nullo, la componente corrispondente rimane costante. La forma precisa della traiettoria dipende anche dalla rapidità relativa delle due componenti, mentre il loro andamento qualitativo dipende dal segno degli autovalori.

Invarianza rispetto all'istante iniziale

Per un sistema stazionario conta il tempo trascorso dall'inizio dell'esperimento, non la data in cui lo si avvia. Un esperimento iniziato il primo gennaio e uno iniziato il primo marzo, a parità di condizioni iniziali e di giorni trascorsi, danno gli stessi valori. Si può quindi porre l'istante iniziale uguale a zero.

Esempio massa–molla nelle coordinate degli autovettori

Si considerano la matrice $A=\begin{bmatrix}0 & 1 \\ -4 & -5\end{bmatrix}$, gli autovalori $\lambda_1=-4$ e $\lambda_2=-1$ e gli autovettori $u_1=\begin{bmatrix}1 \\ -4\end{bmatrix}$ e $u_2=\begin{bmatrix}1 \\ -1\end{bmatrix}$. Nelle coordinate degli autovettori il sistema omogeneo è disaccoppiato: ogni coordinata evolve secondo il proprio autovalore.

Una condizione iniziale si esprime in queste coordinate proiettandola lungo le direzioni degli autovettori; gli autovettori non sono necessariamente ortogonali. In questo esempio entrambi gli autovalori sono negativi e le due componenti decadono verso l'origine. Poiché $\lambda_1=-4$ è più negativo di $\lambda_2=-1$, la componente lungo $u_1$ decade più rapidamente; la traiettoria tende quindi ad appiattirsi prima nella direzione dell'altra componente. Il percorso dipende anche dalla condizione iniziale.

Sistema scalare non omogeneo: risposta libera e forzata

Per il sistema scalare $\dot x=ax+bu$, la soluzione si compone della soluzione omogenea e di un termine integrale dovuto all'ingresso. Il primo termine rappresenta l'evoluzione libera: descrive ciò che accade ponendo $u=0$, per effetto della condizione iniziale. Il termine integrale rappresenta la risposta forzata: descrive il comportamento con condizione iniziale nulla e ingresso applicato nel tempo.

Linearità e sovrapposizione

La linearità riguarda congiuntamente stato e ingresso. Se si combinano le condizioni iniziali di due esperimenti con coefficienti $c_1$ e $c_2$ e si applicano gli stessi coefficienti agli ingressi, lo stato risultante è la stessa combinazione degli stati dei due esperimenti.

Ponendo un ingresso nullo nel primo esperimento e una condizione iniziale nulla nel secondo, i due contributi diventano rispettivamente risposta libera e risposta forzata. La loro somma produce la risposta complessiva del sistema.

Traslazione dell'esperimento

In virtù della stazionarietà, traslare nel tempo l'esperimento e il relativo ingresso, mantenendo uguali la condizione iniziale e la durata, porta allo stesso stato finale. Anche qui è rilevante il tempo trascorso, non il valore assoluto dell'istante iniziale.

Esponenziale di matrice e soluzione omogenea

Per un sistema omogeneo con matrice $A$ non diagonale si scrive la soluzione mediante l'esponenziale di matrice. Questo è definito tramite una serie di potenze. Derivando la serie termine a termine si ottiene $\frac{d}{dt}e^{At}=Ae^{At}$; in questo caso si può anche scrivere $e^{At}A$, benché le matrici in generale non commutino. La derivata della soluzione proposta restituisce così $A x(t)$, verificando che essa soddisfa l'equazione differenziale.

Per calcolare concretamente l'esponenziale di una matrice generale, si usano le informazioni ottenute dagli autovalori, dagli autovettori e dal cambio di base che diagonalizza la matrice.

Formule e dimostrazioni

Modello nello spazio di stato

$\dot x(t)=Ax(t)+Bu(t),\qquad y(t)=Cx(t)+Du(t).$

$x(t)$ è lo stato, $u(t)$ l'ingresso e $y(t)$ l'uscita; $A$, $B$, $C$ e $D$ sono le matrici del modello.

Dimensioni delle matrici

$A\in\mathbb{R}^{n\times n},\qquad B\in\mathbb{R}^{n\times m},\qquad C\in\mathbb{R}^{p\times n},\qquad D\in\mathbb{R}^{p\times m}.$

Le dimensioni corrispondono a $x\in\mathbb{R}^n$, $u\in\mathbb{R}^m$ e $y\in\mathbb{R}^p$.

Matrici del modello massa–molla–smorzatore

$\dot x_1=x_2,\qquad \dot x_2=-\frac{k}{m}x_1-\frac{b}{m}x_2+\frac{1}{m}u,\qquad y=x_1.$

$A=\begin{bmatrix}0 & 1 \\ -\frac{k}{m} & -\frac{b}{m}\end{bmatrix},\qquad B=\begin{bmatrix}0 \\ \frac{1}{m}\end{bmatrix},\qquad C=\begin{bmatrix}1 & 0\end{bmatrix},\qquad D=0.$

$x_1=y$ è la posizione, $x_2=\dot y$ la velocità, $m$ la massa, $k$ il coefficiente elastico, $b$ il coefficiente di smorzamento e $u$ la forza applicata.

Soluzione dell'equazione scalare omogenea

$\dot x_i=a_i x_i\quad\Longrightarrow\quad x_i(t)=e^{a_i(t-t_0)}x_i(t_0).$

$a_i$ è il coefficiente scalare, $t_0$ l'istante iniziale e $x_i(t_0)$ il valore iniziale. Se $a_i>0$ la soluzione cresce; se $a_i<0$ decade; se $a_i=0$ resta costante.

La verifica si ottiene derivando:

$\frac{d}{dt}\left(e^{a_i(t-t_0)}x_i(t_0)\right)=a_i e^{a_i(t-t_0)}x_i(t_0)=a_i x_i(t).$

Sistema diagonale nelle coordinate degli autovettori

$\dot z_1=\lambda_1 z_1,\qquad \dot z_2=\lambda_2 z_2.$

$z_1$ e $z_2$ sono le coordinate nella base degli autovettori e $\lambda_1$, $\lambda_2$ i rispettivi autovalori.

Soluzione scalare con ingresso: risposta libera e forzata

$x(t)=e^{a(t-t_0)}x(t_0)+\int_{t_0}^{t}e^{a(t-\tau)}b\,u(\tau)\,d\tau.$

Il primo termine è la risposta libera; l'integrale è la risposta forzata. $a$ è il coefficiente dello stato, $b$ quello dell'ingresso, $u(\tau)$ l'ingresso al tempo $\tau$ e $t_0$ l'istante iniziale.

Principio di sovrapposizione

$x(T)=c_1x_1(T)+c_2x_2(T),$

quando la condizione iniziale e l'ingresso dell'esperimento combinato sono rispettivamente $c_1x_1(t_0)+c_2x_2(t_0)$ e $c_1u_1(t)+c_2u_2(t)$. I coefficienti della combinazione devono essere gli stessi per stato iniziale e ingresso.

Esponenziale di matrice

$e^{At}=I+At+\frac{A^2t^2}{2!}+\frac{A^3t^3}{3!}+\cdots.$

$I$ è la matrice identità e $A$ la matrice del sistema. Derivando la serie:

$\frac{d}{dt}e^{At}=A+ A^2t+\frac{A^3t^2}{2!}+\cdots=Ae^{At}=e^{At}A.$

Soluzione del sistema omogeneo e verifica

$\dot x=Ax\quad\Longrightarrow\quad x(t)=e^{A(t-t_0)}x(t_0).$

Ponendo $t_0=0$ si ottiene la forma $x(t)=e^{At}x(0)$. Poiché $x(t_0)$ è costante rispetto al tempo e $\frac{d}{dt}e^{A(t-t_0)}=Ae^{A(t-t_0)}$, segue che

$\dot x(t)=Ae^{A(t-t_0)}x(t_0)=Ax(t).$

La formula soddisfa quindi l'equazione differenziale omogenea e la condizione iniziale.