Insiemi, domini e successioni in ℝⁿ

Riassunto

La funzione si distingue dal suo grafico e dai contorni di livello, e la topologia degli insiemi si ripassa con esempi in $\mathbb{R}$ e $\mathbb{R}^2$. Dominio, codominio, immagine e dominio naturale sono illustrati con radicali e arcocoseno, le cui condizioni di definizione determinano regioni del piano. Le successioni si estendono a valori in $\mathbb{R}^n$, con limitatezza e sottosuccessioni, e il loro ruolo negli algoritmi numerici iterativi. Seguono le successioni definite per ricorrenza e il metodo di Newton. Si richiamano infine gli assiomi delle norme, si mostra una funzione che non è una norma e si imposta un problema di ottimizzazione discreta.

Concetti chiave

• Funzione — legge che associa a ogni elemento del dominio un valore nel codominio.
• Grafico di una funzione — insieme dei punti formati dagli argomenti e dai corrispondenti valori della funzione; per una funzione reale di $n$ variabili è un insieme in $\mathbb{R}^{n+1}$.
• Contorno di livello $\alpha$ — insieme degli argomenti per cui la funzione assume il valore $\alpha$.
• Dominio — insieme degli elementi per cui la funzione è definita.
• Codominio — insieme di arrivo dichiarato per la funzione.
• Immagine — insieme dei valori effettivamente assunti dalla funzione sul dominio.
• Dominio naturale — più grande sottoinsieme dello spazio delle variabili sul quale la legge della funzione è definita.
• Punto interno — punto per cui esiste un intorno interamente contenuto nell'insieme.
• Punto di frontiera — punto i cui intorni incontrano sia l'insieme sia il suo complementare.
• Punto isolato — punto dell'insieme per cui esiste un intorno che, intersecato con l'insieme, contiene soltanto quel punto.
• Insieme aperto — insieme i cui punti sono tutti interni.
• Insieme chiuso — insieme che contiene tutti i propri punti di frontiera.
• Insieme limitato — insieme contenuto in un intorno abbastanza grande dell'origine.
• Insieme compatto — insieme chiuso e limitato.
• Norma — funzione che misura la grandezza dei vettori e soddisfa non negatività, annullamento solo nel vettore nullo, omogeneità e disuguaglianza triangolare.
• Successione in $\mathbb{R}^n$ — funzione definita sugli interi non negativi, o su tutti gli interi sufficientemente grandi, a valori in $\mathbb{R}^n$.
• Successione limitata — successione i cui elementi hanno norma minore o uguale a una costante $M$ per tutti gli indici per cui è definita.
• Sottosuccessione — successione ottenuta selezionando infiniti elementi, in ordine, da una successione assegnata.
• Definizione ricorsiva — definizione di una successione che specifica gli elementi iniziali e una regola per calcolare ciascun elemento successivo a partire da elementi precedenti.

Sviluppo

Funzione, grafico e contorni di livello

Funzione e grafico sono oggetti distinti: la funzione è una legge, il grafico è un insieme di punti. Per una funzione di una variabile il grafico è una curva, per una di due variabili è una superficie. Il contorno di livello è un terzo oggetto: raccoglie gli argomenti per cui la funzione assume uno specifico valore $\alpha$.

Nel caso di una variabile il grafico è un insieme in $\mathbb{R}^2$, mentre un contorno è un insieme in $\mathbb{R}$. Per funzioni di $n$ variabili il grafico appartiene a $\mathbb{R}^{n+1}$ e il contorno a $\mathbb{R}^n$. Per una funzione di due variabili, il contorno di livello $0$ è una curva che giace sul piano.

Insiemi ottenuti intersecando una retta e un disco

Si considera l'insieme dei punti di una retta che soddisfano una disuguaglianza non stretta, cioè che stanno nel disco di centro l'origine e raggio $\sqrt{2}$ (circonferenza compresa). L'intersezione è un segmento con gli estremi inclusi: è chiuso e limitato, quindi compatto.

Se la disuguaglianza è stretta, i due punti di intersezione con la circonferenza sono esclusi. L'insieme non è aperto come sottoinsieme del piano, perché i suoi punti non sono interni; non è neppure chiuso, perché non contiene tutti i punti di frontiera. È limitato e non compatto.

L'intersezione della retta con la circonferenza consiste soltanto dei due punti di contatto. Entrambi sono punti isolati e di frontiera. L'insieme coincide con la propria frontiera, è chiuso e limitato, dunque compatto; non è aperto.

Insiemi unitari per diverse norme

Nel piano, i punti di norma 2 minore o uguale a $1$ formano il disco unitario, circonferenza inclusa. I punti di norma 1 minore o uguale a $1$ formano un quadrato ruotato di 45 gradi, con vertici sugli assi. Per la norma infinito la regione unitaria è un quadrato con lati paralleli agli assi e lato di lunghezza $2$. La forma dell'insieme dipende dalla norma usata.

Regioni delimitate dalla parabola

L'insieme definito da $y>x^2$ è la regione sopra la parabola, senza la curva stessa. Ogni punto dell'insieme è interno, quindi l'insieme è aperto. È illimitato: contiene, per esempio, i punti dell'asse delle $y$ positive.

Aggiungendo la condizione $y\leq 1$ si ottiene la parte sopra la parabola e sotto la retta $y=1$. Il segmento orizzontale che delimita la regione appartiene all'insieme, mentre la parabola è esclusa; i punti di intersezione delle due curve sono esclusi. La frontiera comprende il tratto di parabola e il segmento orizzontale. Poiché alcuni punti di frontiera appartengono all'insieme e altri no, l'insieme non è né aperto né chiuso. È limitato, ma non compatto.

Dominio, codominio e immagine

Le proprietà degli insiemi servono a studiare il comportamento di una funzione sul proprio dominio. Una funzione di $n$ variabili associa a ogni elemento del dominio $D$ un valore reale. Il dominio non va confuso con il codominio, che è l'insieme di arrivo dichiarato, né con l'immagine, cioè l'insieme dei valori effettivamente ottenuti.

Per $f(x)=x^2$, considerata da $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$, il dominio è $\mathbb{R}$ e il codominio è $\mathbb{R}$; l'immagine è il semiasse reale non negativo, perché un quadrato non è negativo.

Dominio naturale e radicali

Il dominio può essere scelto restringendo l'insieme in cui si vuole calcolare una funzione. Il dominio naturale è invece il più grande insieme sul quale la legge data ha senso. Per una radice quadrata il radicando deve essere non negativo; se la radice è al denominatore, deve essere strettamente positivo.

Per una funzione con radicando $x+y$, il dominio naturale è il semipiano $x+y\geq 0$. Quando la stessa radice è al denominatore, il dominio diventa il semipiano aperto $x+y>0$. In entrambi i casi la frontiera è la retta $x+y=0$; nel primo caso appartiene al dominio, nel secondo è esclusa. La frontiera è rilevante perché in quei punti il comportamento della funzione si studia con i limiti.

Esempio in una variabile e punti di frontiera

Per l'insieme definito da $x^3-x^2<0$, la fattorizzazione $x^2(x-1)<0$ mostra che l'insieme è la semiretta $x<1$ privata del punto $0$. La frontiera è costituita da $0$ e $1$: ogni intorno di ciascuno dei due contiene punti dell'insieme e del suo complementare, anche se nessuno dei due appartiene all'insieme. Un punto di frontiera non deve necessariamente apparire come il bordo geometrico di una regione.

Domini ad anello e dominio dell'arcocoseno

Una funzione che impone le condizioni $x^2+y^2<4$ e $x^2+y^2\geq 1$ ha come dominio una corona circolare: la circonferenza interna di raggio $1$ è inclusa, quella esterna di raggio $2$ è esclusa. L'insieme è limitato, ma non è né aperto né chiuso, perché solo una delle due componenti della frontiera è contenuta nel dominio.

Perché l'arcocoseno sia definito, il suo argomento deve stare tra $-1$ e $1$. Per l'argomento $x^2+y^2-4$ la condizione $-1\leq x^2+y^2-4\leq 1$ equivale a $3\leq x^2+y^2\leq 5$: il dominio è la corona circolare di raggi $\sqrt{3}$ e $\sqrt{5}$. Entrambe le circonferenze di frontiera appartengono al dominio: l'insieme è chiuso e limitato, dunque compatto.

Successioni in $\mathbb{R}$ e in $\mathbb{R}^n$

Una successione è una funzione il cui indice è un intero non negativo, o un intero sufficientemente grande. Esempi sono $1/k$ per $k\geq 1$, $1/(k-100)$ per $k>100$ e $\sqrt{k-50}$ per $k\geq 50$. Una funzione definita soltanto per un numero finito di indici, come una tabella con quattro valori, non è una successione; non lo sono nemmeno le funzioni non definite per tutti gli indici sufficientemente grandi.

Una successione in $\mathbb{R}^n$ associa a ogni indice un vettore. Per esempio, il vettore con componenti $1/k$, $k^2$ e $(-1)^k$, definito per $k\geq 1$, ha come primi elementi $(1,1,-1)$, $(1/2,4,1)$, $(1/3,9,-1)$, e così via.

Limitatezza e uso negli algoritmi

Una successione in $\mathbb{R}^n$ è limitata se esiste $M$ tale che la norma di ciascun elemento non supera $M$. È limitata se e solo se sono limitate tutte le successioni reali date dalle singole componenti dei vettori. Le successioni in $\mathbb{R}^n$ descrivono gli algoritmi numerici iterativi: le iterazioni di un algoritmo producono punti in $\mathbb{R}^n$ e il comportamento dell'algoritmo si studia attraverso la successione di punti ottenuta.

Sottosuccessioni

Da una successione di vettori si possono selezionare infiniti elementi, per esempio quelli con indice pari, e rinominarli come una nuova successione. Per la successione di componenti $\bigl((-1)^k/k,\,(-2)^k\bigr)$, la selezione degli indici pari produce gli elementi $x_2$, $x_4$, $x_6$ e così via. Si possono selezionare anche gli indici dispari o, come caso banale, tutti gli elementi. Una sottosuccessione può avere proprietà di convergenza utili anche quando la successione di partenza non le ha; ciò è utile nello studio di alcuni algoritmi di ottimizzazione.

Definizione ricorsiva e successione di Fibonacci

Una successione può essere descritta indicando come calcolare ciascun elemento a partire da quelli precedenti, invece di dare una formula in funzione dell'indice. Per la successione di Fibonacci i primi due elementi valgono $1$ e ogni elemento successivo è la somma dei due precedenti. Per trovare un elemento lontano si parte dai valori iniziali e si procede iterativamente. Questo modo di definire una successione descrive il funzionamento di un algoritmo.

Metodo di Newton

Per risolvere numericamente $f(x)=0$ si sceglie un valore iniziale $x_0$. Se $f(x_0)=0$, si è già trovata una soluzione. Altrimenti, se $f$ è derivabile e la derivata nel punto è diversa da zero, si considera la tangente al grafico in $(x_0,f(x_0))$. L'intersezione tra questa tangente e l'asse delle $x$ dà il punto successivo $x_1$. Ripetendo il procedimento si ottiene la successione del metodo di Newton, definita ricorsivamente, finché i denominatori non sono nulli.

Successioni ricorsive generali

In generale, per calcolare un elemento si possono richiedere $m$ elementi precedenti. Si assegnano i valori iniziali $a_0,\ldots,a_{m-1}$; per gli indici successivi una regola, eventualmente dipendente anche dall'indice, usa gli $m$ elementi precedenti. Un esempio con $m=3$: i vettori iniziali sono $a_0=(1,1)$, $a_1=(2,-1)$, $a_2=(0,0)$ e la regola è $x_k=x_{k-1}+x_{k-2}+k\cdot x_{k-3}$; si ottengono $x_3=(5,2)$ e $x_4=(13,-2)$.

Una funzione che non è una norma

La funzione su $\mathbb{R}^2$ che restituisce il numero di componenti non nulle vale $0$ all'origine, $1$ se una sola componente è non nulla e $2$ se lo sono entrambe. Pur essendo non negativa e nulla soltanto all'origine, non soddisfa l'omogeneità richiesta a una norma: sui vettori $(1,1)$ e $(4,4)$ vale $2$ in entrambi i casi, mentre l'omogeneità richiederebbe che il secondo valore fosse quattro volte il primo. La funzione non è una norma; si chiama anche pseudonorma.

Le norme $p$ si ottengono dalla somma delle potenze $p$-esime dei valori assoluti delle componenti; la norma infinito è il massimo dei valori assoluti. Una funzione insolita va verificata rispetto agli assiomi della norma: non basta che restituisca valori non negativi.

Problema di ottimizzazione

Si dispone di $6$ euro per acquistare cornetti e cappuccini: un cornetto costa $1{,}20$ euro e un cappuccino $1{,}80$ euro, e si possono acquistare al massimo $4$ cornetti e $3$ cappuccini. Ogni cornetto dà un'unità di felicità, ogni cappuccino due. Il problema è massimizzare la felicità spendendo tutto il budget. Le variabili sono le quantità $c$ e $p$ di cornetti e cappuccini; la traduzione in vincoli e funzione obiettivo è data nelle formule.

Formule e dimostrazioni

Grafico e contorno di livello

$\operatorname{Graf}(f)=\{(x,f(x)):x\in D\},\qquad L_\alpha=\{x\in D:f(x)=\alpha\}$

Qui $D$ è il dominio, $f$ è la funzione e $\alpha$ è il livello fissato. Se $f$ è reale e definita su $\mathbb{R}^n$, il grafico è contenuto in $\mathbb{R}^{n+1}$, mentre $L_\alpha$ è contenuto in $\mathbb{R}^n$.

Regione del piano definita da una parabola

$y>x^2,\qquad y>x^2\ \text{e}\ y\le 1$

La prima condizione descrive i punti sopra la parabola, senza la curva. La seconda aggiunge il vincolo superiore $y\le 1$.

Norme e rispettivi insiemi unitari

$\|x\|_1=\sum_{i=1}^{n}|x_i|,\qquad \|x\|_2=\left(\sum_{i=1}^{n}|x_i|^2\right)^{1/2},\qquad \|x\|_p=\left(\sum_{i=1}^{n}|x_i|^p\right)^{1/p}$

$\|x\|_\infty=\max_{1\le i\le n}|x_i|$

Per $x=(x_1,\ldots,x_n)$ si hanno le norme 1, 2 e $p$; l'ultima è la norma infinito. In $\mathbb{R}^2$ gli insiemi unitari sono rispettivamente $|x|+|y|\le 1$, $x^2+y^2\le 1$ e $\max(|x|,|y|)\le 1$.

Dominio naturale di radicali e arcocoseno

$\sqrt{x+y}:\quad x+y\ge 0,\qquad \frac{1}{\sqrt{x+y}}:\quad x+y>0$

La seconda condizione è stretta perché il denominatore non può annullarsi.

$1\le x^2+y^2<4$

Queste sono le condizioni del dominio ad anello: circonferenza interna inclusa, circonferenza esterna esclusa.

$-1\le x^2+y^2-4\le 1\quad\Longleftrightarrow\quad 3\le x^2+y^2\le 5$

La prima doppia disuguaglianza è la condizione perché l'argomento dell'arcocoseno sia compreso tra $-1$ e $1$; la seconda descrive la corona circolare del dominio.

Insieme definito da un polinomio

$x^3-x^2=x^2(x-1),\qquad x^2(x-1)<0$

L'insieme è $(-\infty,0)\cup(0,1)$: $0$ è escluso perché annulla il polinomio, e $1$ è escluso dalla disuguaglianza stretta. La frontiera è $\{0,1\}$.

Successione in $\mathbb{R}^n$, limitatezza e sottosuccessione

$x_k=\left(\frac{1}{k},k^2,(-1)^k\right),\qquad k\ge 1$

Le tre componenti definiscono successioni reali. La successione vettoriale è limitata se e solo se lo è ciascuna successione delle componenti.

$\|x_k\|\le M\quad\text{per ogni indice }k\text{ per cui }x_k\text{ è definita}$

Questa è la condizione di limitatezza, con $M$ costante.

$y_h=x_{2h},\qquad h\ge 1$

La formula seleziona gli elementi di indice pari come sottosuccessione.

Successione di Fibonacci e regola ricorsiva generale

$x_0=1,\qquad x_1=1,\qquad x_k=x_{k-1}+x_{k-2}\quad(k>1)$

Si ottiene la successione $1,1,2,3,5,8,13,\ldots$.

$x_k=F(k,x_{k-1},x_{k-2},\ldots,x_{k-m})\quad(k\ge m)$

$F$ è la regola ricorsiva, che può dipendere dagli $m$ elementi precedenti e anche dall'indice $k$. I primi $m$ vettori sono dati.

Metodo di Newton

$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0),\qquad x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$

La prima equazione è la tangente al grafico di $f$ nel punto $(x_0,f(x_0))$; la seconda dà la sua intersezione con l'asse delle $x$.

$x_0\ \text{dato},\qquad x_k=x_{k-1}-\frac{f(x_{k-1})}{f'(x_{k-1})}\quad(k\ge 1)$

La successione descrive le iterazioni del metodo per cercare una soluzione di $f(x)=0$. La formula richiede che la derivata nel punto usato non sia nulla.

Assiomi della norma e controesempio

$\|x\|\ge 0,\qquad \|x\|=0\iff x=0,\qquad \|\alpha x\|=|\alpha|\,\|x\|,\qquad \|x+y\|\le\|x\|+\|y\|$

Sono le proprietà di una norma: non negatività, annullamento solo nel vettore nullo, omogeneità e disuguaglianza triangolare.

$\sigma(x,y)=\text{numero di componenti non nulle di }(x,y)$

Per esempio $\sigma(1,1)=2$ e $\sigma(4,4)=2$, ma l'omogeneità imporrebbe $\sigma(4,4)=4\,\sigma(1,1)=8$. Quindi $\sigma$ non è una norma.

Modello del problema cornetti e cappuccini

$1{,}20\,c+1{,}80\,p=6,\qquad 0\le c\le 4,\qquad 0\le p\le 3,\qquad \max\ (c+2p)$

$c$ e $p$ indicano le quantità di cornetti e cappuccini; i coefficienti rappresentano prezzi e felicità. L'uguaglianza esprime la richiesta di spendere tutto il budget.