Topologia: aperti, chiusi e frontiera

Riassunto

Si estendono agli spazi euclidei di dimensione finita le nozioni di intervallo aperto e chiuso, introducendo punti interni, esterni e di frontiera. Un insieme è aperto se coincide con il proprio interno, mentre è chiuso se il suo complementare è aperto; un insieme può anche non essere né aperto né chiuso. Si definiscono punti di accumulazione, punti isolati e chiusura, e si presentano criteri equivalenti per riconoscere gli insiemi chiusi. Gli esempi mostrano come la frontiera e l'interno dipendano dallo spazio considerato: un segmento ha interno vuoto se visto come sottoinsieme del piano. Si conclude distinguendo una funzione dal suo grafico, che può appartenere a uno spazio di dimensione superiore.

Concetti chiave

• Punto interno — punto che possiede un intorno sferico aperto interamente contenuto nell'insieme.
• Interno di un insieme — insieme costituito da tutti e soli i punti interni all'insieme dato.
• Insieme aperto — insieme i cui punti sono tutti interni; equivalentemente, un insieme che coincide con il proprio interno.
• Punto esterno — punto interno al complementare dell'insieme.
• Insieme chiuso — insieme il cui complementare è aperto.
• Punto di frontiera — punto che non è né interno né esterno; ogni suo intorno incontra sia l'insieme sia il suo complementare. Può appartenere oppure no all'insieme.
• Punto di accumulazione — punto tale che ogni suo intorno contiene punti dell'insieme distinti dal punto stesso. Non è necessario che appartenga all'insieme.
• Derivato — insieme costituito da tutti e soli i punti di accumulazione di un insieme.
• Punto isolato — punto appartenente all'insieme per il quale esiste un intorno che non contiene altri punti dell'insieme.
• Chiusura — insieme ottenuto aggiungendo all'insieme tutti i suoi punti di frontiera; è un insieme chiuso.
• Insieme limitato — insieme contenuto in una sfera di raggio sufficientemente grande centrata nell'origine.
• Insieme compatto — insieme che è contemporaneamente chiuso e limitato.

Sviluppo

Punti interni e insiemi aperti

Un punto è interno a un insieme quando si può scegliere un intorno sferico aperto centrato in quel punto e interamente contenuto nell'insieme. Alcuni punti di un insieme possono essere interni e altri no. L'interno è l'insieme di tutti i punti interni; quando tutti i punti dell'insieme sono interni, l'insieme coincide con il proprio interno e si dice aperto.

Insiemi chiusi e intervalli

Un insieme chiuso non è semplicemente un insieme che non è aperto: è un insieme il cui complementare è aperto. Perciò esistono insiemi che non sono né aperti né chiusi. Queste definizioni estendono in dimensione finita le nozioni già incontrate per gli intervalli sulla retta reale.

Punti esterni e punti di frontiera

Un punto è esterno a un insieme se è interno al suo complementare: esiste quindi un intorno sferico aperto del punto interamente contenuto nel complementare. I punti che non sono né interni né esterni sono punti di frontiera. Ogni loro intorno incontra l'insieme e il complementare. Un punto di frontiera può appartenere all'insieme oppure no; inoltre, la frontiera di un insieme coincide con quella del suo complementare.

Classificazione dei punti

Rispetto a un insieme, ogni punto è interno, esterno oppure di frontiera. I tre casi si escludono a vicenda. Un punto interno appartiene all'insieme, uno esterno appartiene al complementare; per un punto di frontiera l'appartenenza va verificata caso per caso. La frontiera viene indicata con il simbolo $\partial E$.

Prodotto di intervalli aperti e chiusi

Il prodotto cartesiano di due intervalli aperti nel piano forma un rettangolo senza il perimetro: i punti sui lati non appartengono all'insieme. Ogni punto interno al rettangolo si trova a distanza positiva dai lati; scegliendo un intorno di raggio più piccolo di tale distanza, l'intorno rimane contenuto nell'insieme. L'insieme è quindi aperto.

Se invece si fa il prodotto di intervalli chiusi, il perimetro appartiene all'insieme. Per ogni punto esterno al rettangolo si può scegliere un intorno che resta nel complementare; il complementare è aperto e quindi il rettangolo è chiuso.

Insiemi né aperti né chiusi

Gli intervalli semichiusi o semiaperti della retta forniscono esempi di insiemi che non sono né aperti né chiusi. La stessa possibilità si presenta negli spazi di dimensione maggiore.

Proprietà di aperti e chiusi

Lo spazio intero $\mathbb{R}^n$ e l'insieme vuoto sono entrambi aperti e chiusi, e sono gli unici insiemi con entrambe le proprietà. $\mathbb{R}^n$ è aperto perché ogni intorno di un suo punto è contenuto nello spazio; il suo complementare è l'insieme vuoto, che è aperto perché non vi sono punti su cui verificare la proprietà, e quindi $\mathbb{R}^n$ è anche chiuso. Per complementarità lo stesso vale per l'insieme vuoto.

L'unione di una famiglia finita o infinita di aperti è aperta; l'intersezione di un numero finito di aperti è aperta. Per i chiusi valgono le proprietà corrispondenti: l'intersezione di una famiglia di chiusi è chiusa e l'unione finita di chiusi è chiusa. Le operazioni infinite possono invece perdere la proprietà: un'intersezione infinita di aperti può non essere aperta e un'unione infinita di chiusi può non essere chiusa.

Punti di accumulazione e derivato

La definizione di punto di accumulazione usa gli intorni sferici aperti; sulla retta reale questi corrispondono agli intervalli aperti. Un punto è di accumulazione per un insieme se, per quanto piccolo sia il suo intorno, vi si trovano punti dell'insieme distinti dal punto stesso. L'insieme di tutti i punti di accumulazione si chiama derivato.

Punti isolati

Un punto dell'insieme che non è di accumulazione è isolato: esiste un intorno sufficientemente piccolo nel quale l'unico punto dell'insieme è il centro. Un punto isolato non è interno, perché il suo intorno contiene anche punti non appartenenti all'insieme; non è esterno, perché appartiene all'insieme. È quindi un punto di frontiera. Un insieme può non avere punti isolati.

Punti di accumulazione e insiemi chiusi

Ogni punto interno è di accumulazione. I punti di accumulazione possono trovarsi nell'interno o sulla frontiera; sulla frontiera, i punti isolati non sono di accumulazione. Perciò, per cercare i punti di accumulazione, si considerano l'interno e la frontiera, escludendo da quest'ultima i punti isolati.

Un insieme è chiuso se e solo se contiene tutta la sua frontiera; equivalentemente, contiene tutti i propri punti di accumulazione. Questi criteri permettono di riconoscere i chiusi senza verificare direttamente che il complementare sia aperto.

Chiusura, limitatezza e compattezza

La chiusura di un insieme si ottiene aggiungendogli tutti i punti di frontiera, compresi quelli che inizialmente non vi appartenevano. La chiusura è un insieme chiuso. Un insieme si dice limitato se può essere contenuto in una sfera sufficientemente grande centrata nell'origine. Un insieme che è chiuso e limitato si dice compatto.

La frontiera non contiene punti interni; ogni insieme è contenuto nella propria chiusura e contiene il proprio interno. La chiusura si può ottenere anche unendo l'interno con la frontiera; la frontiera è la parte della chiusura che resta togliendo l'interno.

Esempio sulla retta: un intervallo e un punto isolato

Si considera in $\mathbb{R}$ l'insieme formato da un intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra, unito al punto $2$. Nel caso discusso, l'intervallo è $[-1,1)$. I punti esaminati si classificano così:

• $-1$ appartiene all'insieme, è di frontiera ed è di accumulazione;
• $0$ è interno ed è di accumulazione;
• $1$ non appartiene all'insieme, ma è di frontiera e di accumulazione;
• $2$ appartiene all'insieme, è isolato e di frontiera, ma non è di accumulazione;
• $3$ è esterno e non appartiene all'insieme.

L'esempio mostra che punti di frontiera appartenenti all'insieme e punti di frontiera che non vi appartengono possono comparire insieme.

Esempio nel piano: un rettangolo e un punto isolato

Sia $E\subseteq\mathbb{R}^2$ l'unione di un rettangolo, di cui alcuni lati appartengono all'insieme e altri no, e del punto $(2,2)$. Il punto $(-1,0)$, situato su un lato che appartiene all'insieme, non è né interno né esterno: è di frontiera, appartiene all'insieme ed è di accumulazione, perché ogni suo intorno contiene punti di $E$ distinti da esso. L'origine $(0,0)$ sta dentro il rettangolo: è interna e di accumulazione. Il punto $(2,2)$ appartiene all'insieme come punto isolato: ogni suo intorno contiene $(2,2)$, che sta in $E$, quindi non è esterno, e non è interno; è di frontiera, ma non di accumulazione. Il punto $(3,3)$ è esterno e non appartiene all'insieme.

Insieme semichiuso in $\mathbb{R}$

Per l'intervallo $A=[-1,1)$, la chiusura a sinistra impedisce che sia aperto, mentre l'estremo destro escluso impedisce che sia chiuso. L'insieme non è quindi né aperto né chiuso. L'interno non è vuoto e la frontiera è costituita da $-1$ e $1$: il primo appartiene ad $A$, il secondo no.

Lo stesso segmento visto come sottoinsieme del piano

Si considera il segmento sull'asse $x$ formato dai punti con ordinata zero e ascissa compresa tra $-1$ incluso e $1$ escluso. Sebbene l'intervallo delle ascisse sia quello dell'esempio precedente, qui l'insieme è un sottoinsieme di $\mathbb{R}^2$. L'interno è vuoto: ogni intorno sferico nel piano attorno a un punto del segmento contiene punti fuori dal segmento. La frontiera comprende tutto il segmento e anche l'estremo $(1,0)$, che non appartiene all'insieme. Il segmento non è né aperto né chiuso.

Altri esempi geometrici nel piano

Sia $E$ l'insieme dei punti interni alla prima di due circonferenze ed esterni alla seconda, con i punti sulle circonferenze inclusi. Tutti i punti di frontiera appartengono a $E$, che quindi contiene tutta la propria frontiera ed è chiuso.

In un insieme del piano possono comparire archi di curva che appartengono all'insieme, archi che ne sono esclusi e segmenti che gli appartengono. I punti di un segmento appartenente all'insieme non sono interni, perché un intorno sferico nel piano si estende oltre il segmento: sono di frontiera. La frontiera non va quindi immaginata solo come una curva che racchiude l'insieme: si usa la definizione tramite gli intorni.

Funzione e grafico

Una funzione e il suo grafico sono oggetti diversi. La parabola $y=x^2$ è il grafico della funzione $x\mapsto x^2$, non la funzione stessa. Il grafico di una funzione di due variabili è un insieme in $\mathbb{R}^3$; quello di una funzione di tre variabili è un insieme in $\mathbb{R}^4$. Non bisogna confondere una funzione con il suo grafico.

Formule e dimostrazioni

Intorno sferico aperto

$$B(x,r)=\{y\in\mathbb{R}^n:\|y-x\|<r\}$$

Qui $x$ è il centro, $r>0$ il raggio e $y$ un punto dello spazio $\mathbb{R}^n$.

Punto interno e interno

$$x\in\operatorname{Int}(E)\iff \exists r>0:\ B(x,r)\subseteq E$$

$E$ è l'insieme considerato; $\operatorname{Int}(E)$ è il suo interno. La condizione richiede che esista un intorno sferico interamente contenuto in $E$.

Insieme aperto

$$E\text{ è aperto}\iff E=\operatorname{Int}(E)$$

Tutti i punti di $E$ devono essere interni.

Punto esterno

$$x\text{ è esterno a }E\iff x\in\operatorname{Int}(E^c)$$

$E^c$ indica il complementare di $E$.

Punto di frontiera

$$x\in\partial E\iff \forall r>0:\ B(x,r)\cap E\ne\varnothing\ \text{e}\ B(x,r)\cap E^c\ne\varnothing$$

Ogni intorno di $x$ incontra sia $E$ sia il suo complementare. Inoltre,

$$\partial E=\partial(E^c)$$

Punto di accumulazione e derivato

$$x\in E'\iff \forall r>0:\bigl(B(x,r)\setminus\{x\}\bigr)\cap E\ne\varnothing$$

$E'$ è il derivato di $E$; la condizione non richiede che $x$ appartenga a $E$.

Punto isolato

$$x\in E\ \text{e}\ \exists r>0:\ B(x,r)\cap E=\{x\}$$

Il punto $x$ appartiene a $E$ e un suo intorno contiene solo quel punto di $E$.

Criteri equivalenti per un insieme chiuso

$$E\text{ è chiuso}\iff E^c\text{ è aperto}\iff \partial E\subseteq E\iff E'\subseteq E$$

Un insieme è chiuso se contiene tutti i propri punti di frontiera, oppure, equivalentemente, tutti i propri punti di accumulazione.

Chiusura e frontiera

$$\overline{E}=E\cup\partial E=\operatorname{Int}(E)\cup\partial E$$ $$\partial E=\overline{E}\setminus\operatorname{Int}(E)$$

$\overline{E}$ è la chiusura di $E$; le relazioni esprimono che la frontiera si aggiunge all'interno per ottenere la chiusura.

Proprietà di unioni e intersezioni

Per una famiglia $(U_i)_{i\in I}$ di aperti, l'unione è aperta; l'intersezione di un numero finito di aperti è aperta. Per una famiglia $(F_i)_{i\in I}$ di chiusi, l'intersezione è chiusa; l'unione di un numero finito di chiusi è chiusa. Le affermazioni valgono rispettivamente per ogni insieme di indici $I$ o per famiglie finite.

Compattezza

$$E\text{ compatto}\iff E\text{ chiuso e limitato}$$

La limitatezza si definisce tramite il contenimento dell'insieme in una sfera sufficientemente grande centrata nell'origine.