Limiti e problema di miscelazione

Riassunto

Il ruolo delle funzioni nei problemi decisionali è di minimizzare un costo o massimizzare un profitto; le successioni descrivono gli algoritmi numerici. Si richiamano gli intorni, i punti interni e di frontiera e le definizioni di limite, sottolineando che il valore della funzione nel punto non determina il limite. I diversi casi di limite vengono riuniti tramite il linguaggio degli intorni e si spiega che, in più variabili, gli intorni si descrivono con le norme. Un problema di miscelazione del caffè viene impostato come minimizzazione del costo, indicando le variabili decisionali e i vincoli su quantità, caffeina e aroma.

Concetti chiave

• Funzione obiettivo — funzione di costo o di profitto che, in un problema decisionale, si vuole rispettivamente minimizzare o massimizzare.
• Algoritmo numerico — procedura che produce successioni di valori, per esempio di punti, valori di funzione o derivate; l'andamento di tali successioni permette di studiarne il comportamento.
• Dominio naturale — insieme dei punti in cui una funzione, secondo la sua definizione, è calcolabile.
• Intorno di un punto — qualunque insieme aperto che contiene il punto; gli intorni sferici aperti sono un caso particolare.
• Punto interno a un insieme — punto che ammette un intorno sferico aperto interamente contenuto nell'insieme.
• Punto esterno a un insieme — punto che ammette un intorno sferico aperto disgiunto dall'insieme.
• Punto di frontiera — punto che non è né interno né esterno all'insieme.
• Punto di accumulazione — punto tale che ogni suo intorno contiene punti dell'insieme distinti dal punto stesso.
• Limite di una funzione — valore a cui si possono rendere arbitrariamente vicini i valori della funzione scegliendo la variabile sufficientemente vicina al punto considerato e distinta da esso.
• Variabile decisionale — quantità incognita che si sceglie per descrivere una decisione; nell'esercizio è la quantità, in chilogrammi, di ciascuna miscela da usare.
• Vincolo — condizione sulle variabili decisionali che deve essere rispettata dalla soluzione del problema.

Sviluppo

Perché studiare funzioni multivariabili

I problemi decisionali, centrali nel corso, comportano quasi sempre una funzione di costo o di profitto da minimizzare o massimizzare. Non tutti questi problemi hanno una funzione obiettivo lineare. Come esempio di problema non lineare, si presenta la regressione non lineare: si parte da coppie di ingressi e uscite e si cerca una funzione che approssimi il legame tra le variabili. La funzione di approssimazione descritta è una somma di funzioni gaussiane pesate, dove i pesi sono i coefficienti da determinare e i parametri di localizzazione sono fissati. Si calcolano gli errori tra i dati e la funzione, se ne fa il quadrato per renderli non negativi e li si somma; si scelgono poi i coefficienti che minimizzano questa somma.

Successioni e algoritmi numerici

Le successioni sono utili perché un algoritmo numerico produce successioni: di punti, valori di funzione, derivate e altre quantità. Studiarle permette di valutare il comportamento dell'algoritmo prima di applicarlo a un problema reale, per esempio verificando che la successione dei punti non diverga. L'algoritmo di Newton è richiamato come procedura per determinare una radice di un'equazione generalmente non lineare $f(x)=0$. Parte da una stima iniziale $x_0$ e genera ricorsivamente una successione di punti, con $x_{k+1}=x_k-f(x_k)/f'(x_k)$. L'interpretazione geometrica consiste nel considerare le tangenti alla curva nei punti delle iterazioni e usare le loro intersezioni con l'asse per approssimare una radice. In un esempio, partendo da $x_0=3$, il metodo approssima la radice più a destra e bastano sei iterazioni per raggiungere una precisione di circa dieci cifre decimali.

Intorni, dominio e frontiera

Per studiare funzioni e successioni servono strumenti quali intorni, insiemi aperti e chiusi, punti di accumulazione e frontiere: sono alla base delle definizioni di limite. Per una funzione non definita su tutto $\mathbb{R}^n$, si considera il suo dominio naturale e si distinguono i punti interni da quelli di frontiera. Un punto esterno al dominio non permette di calcolare la funzione; un punto di frontiera può invece essere un punto di accumulazione del dominio e consentire lo studio del limite.

Una volta introdotta la nozione di insieme aperto, si può chiamare intorno di un punto qualunque insieme aperto che lo contiene, senza limitarsi agli intorni sferici. I punti di accumulazione si trovano nell'interno dell'insieme o sulla sua frontiera.

Il limite può differire dal valore della funzione

Il primo esempio è una funzione definita su tutti i reali, con valore $0$ nel punto $x=1$ e andamento, negli altri punti, dato da una parabola traslata verticalmente. Il limite per $x$ che tende a $1$ vale $2$, diverso dal valore $0$ della funzione in $1$. L'esempio serve a chiarire che, nel calcolo del limite, il valore della funzione nel punto non conta: si osservano i valori in punti distinti da $1$ e arbitrariamente vicini a esso.

Il secondo esempio è $\sin(\sqrt{x})/\sqrt{x}$, definita per $x>0$. Il dominio è quindi $\mathbb{R}_{>0}$; l'origine non appartiene al dominio, ma ne è un punto di frontiera e di accumulazione. Si studia perciò il limite quando $x$ tende a $0$, che vale $1$.

Definizione di limite finito in un punto

Dire che il limite di $f(x)$ per $x$ che tende a $x_0$ è $L$ significa poter rendere $f(x)$ vicino a $L$ quanto si vuole, purché si scelga $x$ sufficientemente vicino a $x_0$, con $x$ nel dominio e diverso da $x_0$. Il punto in cui si calcola il limite resta fuori dalla condizione: non si valuta la funzione proprio in $x_0$.

La definizione si riprende con $\varepsilon$ e $\delta$: "arbitrariamente vicino" corrisponde a ogni $\varepsilon>0$, mentre "sufficientemente vicino" richiede l'esistenza di un $\delta>0$, che può dipendere da $\varepsilon$. Il punto $x_0$ deve essere di accumulazione del dominio.

Limite infinito in un punto finito

Quando $x$ tende a un punto finito $x_0$ e $f(x)$ tende a $+\infty$, si intende che i valori della funzione diventano più grandi di qualunque soglia positiva, scegliendo $x$ sufficientemente vicino a $x_0$ e distinto da esso. Per il limite a $-\infty$, i valori diventano invece negativi quanto si vuole. La condizione del dominio resta necessaria in entrambi i casi.

Verifica con $1/x^2$

La funzione $1/x^2$ è definita per $x\ne0$ e l'origine è un punto di accumulazione del dominio. Per dimostrare dalla definizione che il limite in $0$ è $+\infty$, si fissa una soglia positiva $N$ e si richiede $1/x^2>N$. La disequazione equivale a $|x|<1/\sqrt{N}$; si può quindi scegliere $\delta_N=1/\sqrt{N}$.

Mentre per le funzioni di una variabile il calcolo dei limiti è spesso praticabile, in più variabili è generalmente difficile dimostrare che un limite esiste. Sarà invece spesso possibile mostrare che non esiste.

Limite a $-\infty$ in un punto: esempio del logaritmo

Per $\log(x)$, con dominio $x>0$, si vuole mostrare che il limite per $x$ che tende a $0$ è $-\infty$. Fissata una soglia positiva $N$, la condizione $\log(x)<-N$ equivale a $x<e^{-N}$. È quindi sufficiente scegliere un intorno di raggio $\delta_N=e^{-N}$: restringendosi al dominio positivo, si ottiene $0<x<e^{-N}$.

Limiti quando la variabile tende all'infinito

Si considerano i limiti per $x$ che tende a $+\infty$ o a $-\infty$ con valore finito $L$. Nel primo caso si prendono valori di $x$ sufficientemente grandi e positivi; nel secondo, valori sufficientemente negativi. Come esempio, $e^{-x}$ tende a $0$ quando $x$ tende a $+\infty$.

Definizione unificata tramite intorni

Si ricapitolano i casi in cui il punto di avvicinamento è finito, $+\infty$ o $-\infty$, e il limite è finito, $+\infty$ o $-\infty$. Tutti si possono esprimere con un'unica definizione: per ogni intorno del limite deve esistere un intorno del punto di avvicinamento tale che, per i punti del dominio in quell'intorno (escluso il punto stesso se è finito), i valori della funzione appartengono all'intorno del limite scelto.

Estensione alle funzioni di più variabili

Per una funzione di $n$ variabili, il punto $x_0$ può essere un vettore di $\mathbb{R}^n$ oppure l'elemento infinito dello spazio esteso; il limite $L$ appartiene ai reali estesi. La definizione tramite intorni resta la stessa. Cambia la forma degli intorni sferici: la distanza si descrive con una norma anziché con il valore assoluto.

Dati e obiettivo del problema di miscelazione

Nella parte applicativa si vuole produrre $1000$ kg di caffè mescolando quattro miscele al costo totale più basso possibile. Le condizioni di qualità indicate sono: aroma medio non inferiore all'80%, caffeina compresa tra l'1,4% e l'1,7% e impiego della miscela Vietnam non superiore al 30% del totale.

Variabili decisionali e costo

Si definiscono $x_1,x_2,x_3,x_4$ come le quantità in chilogrammi delle miscele Brasile, Etiopia, Colombia e Vietnam. Il costo totale si ottiene moltiplicando ciascuna quantità per il costo al chilogrammo corrispondente e sommando. I coefficienti riportati sono $4{,}2$, $6{,}5$, $5{,}4$ e $2{,}8$ euro/kg; la miscela associata al costo più basso è quella del Vietnam.

Vincoli di produzione, caffeina e aroma

La somma delle quantità deve essere $1000$ kg. Il limite del 30% per Vietnam equivale a non usarne più di $300$ kg. Per il vincolo sulla caffeina, si sommano i quantitativi apportati da ciascuna miscela: le percentuali indicate sono 1,2% per Brasile, 1,1% per Etiopia, 1,3% per Colombia e 2,2% per Vietnam. Dividendo la caffeina complessiva per i $1000$ kg si ottiene la percentuale della miscela finale, che deve rientrare nell'intervallo richiesto.

Per l'aroma si usa la media pesata, con coefficienti 80, 88, 84 e 70 per le quattro miscele. La media deve essere almeno 80. Si aggiunge infine la condizione che tutte le quantità siano non negative. Il problema è così formulato come minimizzazione lineare con vincoli lineari.

Formule e dimostrazioni

Somma dei quadrati degli errori nella regressione.

$$e_i=F(x_i)-y_i,\qquad E=\sum_i e_i^2\quad\longrightarrow\quad\min_{w_i}E$$

Qui $(x_i,y_i)$ sono le coppie di dati, $F(x_i)$ è il valore dell'approssimante, $e_i$ è l'errore e $w_i$ sono i coefficienti da determinare, fissati i parametri di localizzazione. La forma $F(x_i)$ è una somma di funzioni gaussiane pesate dai coefficienti $w_i$.

Intorno sferico aperto in $\mathbb{R}^n$.

$$B_\delta(\vec{x}_0)=\left\{\vec{x}\in\mathbb{R}^n:\|\vec{x}-\vec{x}_0\|<\delta\right\}$$

Il centro è $\vec{x}_0$, $\delta>0$ è il raggio e $\|\cdot\|$ indica la norma. In $\mathbb{R}$ la norma si riduce al valore assoluto: $|x-x_0|<\delta$.

Limite finito in un punto finito.

$$\lim_{x\to x_0}f(x)=L \quad\Longleftrightarrow\quad \forall\varepsilon>0\;\exists\delta>0\;\forall x\in D:\ 0<|x-x_0|<\delta\ \Longrightarrow\ |f(x)-L|<\varepsilon$$

$D$ è il dominio di $f$, $x_0$ è un suo punto di accumulazione, $L$ è il limite, $\varepsilon$ è la tolleranza sui valori della funzione e $\delta$ determina quanto vicino a $x_0$ si deve prendere $x$. La condizione $x\ne x_0$ esclude il valore della funzione nel punto.

Limiti infiniti in un punto finito.

$$\lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \quad\Longleftrightarrow\quad \forall N>0\;\exists\delta_N>0\;\forall x\in D:\ 0<|x-x_0|<\delta_N\ \Longrightarrow\ f(x)>N$$ $$\lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty \quad\Longleftrightarrow\quad \forall N>0\;\exists\delta_N>0\;\forall x\in D:\ 0<|x-x_0|<\delta_N\ \Longrightarrow\ f(x)<-N$$

$N$ è una soglia positiva, che può essere scelta arbitrariamente grande; $\delta_N$ è il raggio dell'intorno corrispondente. $x_0$, $D$ e $f$ hanno il significato indicato nella definizione precedente.

Esempio: limite di $1/x^2$.

$$\lim_{x\to0}\frac{1}{x^2}=+\infty,\qquad \frac{1}{x^2}>N\ \Longleftrightarrow\ |x|<\frac{1}{\sqrt{N}},\qquad \delta_N=\frac{1}{\sqrt{N}}$$

$x$ è la variabile, $N>0$ la soglia e $\delta_N$ il raggio scelto. La disequazione è considerata per $x\ne0$, come richiesto dalla definizione di limite.

Esempio: limite di $\log(x)$.

$$\lim_{x\to0}\log(x)=-\infty,\qquad \log(x)<-N\ \Longleftrightarrow\ 0<x<e^{-N},\qquad \delta_N=e^{-N}$$

$x$ appartiene al dominio positivo della funzione e $N>0$ è una soglia arbitraria. La scelta del raggio garantisce la condizione per i punti del dominio nell'intorno di $0$.

Limite finito quando $x$ tende a $+\infty$ o a $-\infty$.

$$\lim_{x\to+\infty}f(x)=L \quad\Longleftrightarrow\quad \forall\varepsilon>0\;\exists M\;\forall x\in D:\ x>M\ \Longrightarrow\ |f(x)-L|<\varepsilon$$ $$\lim_{x\to-\infty}f(x)=L \quad\Longleftrightarrow\quad \forall\varepsilon>0\;\exists M>0\;\forall x\in D:\ x<-M\ \Longrightarrow\ |f(x)-L|<\varepsilon$$

$L$ è finito, $\varepsilon>0$ è la tolleranza sui valori della funzione e $M$ stabilisce quanto grande, in valore assoluto, deve essere $x$. Un esempio è $\lim_{x\to+\infty}e^{-x}=0$.

Definizione unificata mediante intorni.

$$\forall V\in\mathcal{N}(L)\;\exists U\in\mathcal{N}(x_0):\ \forall x\in D\cap U,\quad f(x)\in V$$

$\mathcal{N}(L)$ è la famiglia degli intorni di $L$ e $\mathcal{N}(x_0)$ quella degli intorni del punto di avvicinamento. Se $x_0$ è finito, si richiede inoltre $x\ne x_0$; se $x_0$ è infinito, tale esclusione non serve. La definizione copre i casi di limite finito o infinito e di avvicinamento a un punto finito o a $+\infty$ o $-\infty$.

Estensione del criterio degli intorni a $\mathbb{R}^n$.

$$\|\vec{x}-\vec{x}_0\|<\delta$$

$\vec{x}$ è il vettore variabile, $\vec{x}_0$ il punto dello spazio e $\delta>0$ il raggio. Nel criterio di limite in più variabili, l'intorno di $\vec{x}_0$ è descritto tramite la norma; il resto della definizione per intorni mantiene la stessa struttura.

Problema di miscelazione: costo da minimizzare.

$$C(x_1,x_2,x_3,x_4)=4{,}2x_1+6{,}5x_2+5{,}4x_3+2{,}8x_4 \quad\longrightarrow\quad\min$$

$x_1,x_2,x_3,x_4$ sono i chilogrammi delle miscele Brasile, Etiopia, Colombia e Vietnam; i coefficienti sono i rispettivi costi in euro/kg e $C$ è il costo complessivo in euro.

Vincoli sulle quantità.

$$x_1+x_2+x_3+x_4=1000,\qquad x_4\le 300,\qquad x_i\ge0\quad(i=1,2,3,4)$$

La prima uguaglianza impone una produzione totale di 1000 kg; $x_4\le300$ limita al 30% la miscela Vietnam; le disuguaglianze di non negatività esprimono che non si possono prelevare quantità negative.

Vincolo sulla percentuale di caffeina.

$$0{,}014\le \frac{0{,}012x_1+0{,}011x_2+0{,}013x_3+0{,}022x_4}{1000} \le0{,}017$$

I coefficienti decimali sono le frazioni di caffeina indicate per le miscele Brasile, Etiopia, Colombia e Vietnam. Il numeratore è la quantità complessiva di caffeina; la divisione per 1000 kg dà la frazione nella miscela finale, che deve essere compresa tra 1,4% e 1,7%.

Vincolo sull'aroma medio.

$$\frac{80x_1+88x_2+84x_3+70x_4}{1000}\ge80$$

I coefficienti 80, 88, 84 e 70 sono i valori di aroma attribuiti alle quattro miscele; $x_i/1000$ è il peso relativo di ciascuna miscela. Il rapporto è la media pesata, che deve essere almeno 80.