Autovalori ripetuti e coppie complesse

Autovalori reali ripetuti

Lo studio di un sistema passa dai suoi modi naturali, e i modi si leggono in $e^{At}$. Con autovalori reali e distinti l'esponenziale si calcola diagonalizzando, $A=U\Lambda U^{-1}$: ogni autovalore dà un autovettore, e gli $n$ autovettori formano $U$. Qui si tolgono due ipotesi, una alla volta: autovalori ripetuti, poi autovalori complessi.

Se gli autovalori sono reali ma non tutti distinti, il polinomio caratteristico ha $K$ radici distinte, ciascuna con la sua molteplicità algebrica $r_i$:

$$\begin{gathered} p_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{r_1}(\lambda-\lambda_2)^{r_2}\cdots(\lambda-\lambda_K)^{r_K}\\ r_1+\dots+r_K=n \end{gathered}$$

Le radici sono comunque $n$, alcune uguali fra loro. Per $\lambda_1$ si risolve una sola volta $(A-\lambda_1 I)u=0$ e si contano le soluzioni indipendenti. Ne servono $r_1$, cioè $u_{11},\dots,u_{1r_1}$:

$$\dim\ker(A-\lambda_1 I)=r_1$$

• Se ci sono, $U$ si completa come nel caso distinto: ha per colonne tutti gli autovettori e $\Lambda$ ripete $\lambda_1$ per $r_1$ volte sulla diagonale. Si può usare $A=U\Lambda U^{-1}$.
• Se mancano, $U$ non si completa e $A$ non è diagonalizzabile. Questo caso si tratta a parte, con la forma di Jordan.

Esempio: un autovalore doppio

Sia $n=3$, con $\lambda_1=1$ di molteplicità algebrica $2$ e $\lambda_2=2$. Ci sono due autovettori indipendenti $u_{11},u_{12}$ per $\lambda_1$ e un autovettore $u_2$ per $\lambda_2$. I $v$ sono le righe di $U^{-1}$, nello stesso ordine:

$$x_c(t)=e^{\lambda_1 t}u_{11}v_{11}x_0+e^{\lambda_1 t}u_{12}v_{12}x_0+e^{\lambda_2 t}u_2v_2x_0$$

I primi due termini hanno la stessa legge $e^{\lambda_1 t}$, quindi si raccolgono:

$$x_c(t)=e^{\lambda_1 t}\,\bigl[u_{11}v_{11}+u_{12}v_{12}\bigr]x_0+e^{\lambda_2 t}u_2v_2x_0$$

Ogni prodotto colonna per riga è una matrice $n\times n$ di rango $1$. La somma fra parentesi è invece

$$u_{11}v_{11}+u_{12}v_{12}=(u_{11}\ u_{12})\begin{pmatrix}v_{11}\\v_{12}\end{pmatrix}$$

cioè una matrice $n\times 2$ per una $2\times n$: ha rango $2$. Il rango del coefficiente di un esponenziale dà la molteplicità geometrica di quell'autovalore. Se in $e^{At}$ di una matrice $3\times3$ compaiono solo $e^{t}$ e $e^{2t}$, un autovalore è ripetuto, e lo si riconosce dal rango del suo coefficiente.

Geometria. Con $c_{11}=v_{11}x_0$ e $c_{12}=v_{12}x_0$, uno stato iniziale nel piano di $u_{11}$ e $u_{12}$ è $x_0=c_{11}u_{11}+c_{12}u_{12}$, e $v_2x_0=0$. Allora $x_c(t)=e^{\lambda_1 t}x_0$: lo stato resta sulla retta che parte da $x_0$. Il piano è invariante, e ogni suo vettore si comporta da autovettore. La scelta di $u_{11}$ e $u_{12}$ è arbitraria: è invariante il piano, non la base.

Osservabilità con un autovalore ripetuto

Nell'uscita libera $C$ entra nei coefficienti:

$$\begin{aligned} y_L(t)=Ce^{At}x_0={}&\bigl(e^{\lambda_1 t}Cu_{11}v_{11}+e^{\lambda_1 t}Cu_{12}v_{12}\\ &+e^{\lambda_2 t}Cu_2v_2\bigr)x_0 \end{aligned}$$

Un modo naturale è osservabile se la sua legge temporale compare nell'uscita. Supponiamo $Cu_{11}=0$ e $Cu_{12}\neq0$. Guardando solo $u_{11}$ il modo sembrerebbe inosservabile, ma $e^{\lambda_1 t}$ compare comunque, attraverso $u_{12}$. Nell'uscita la parte geometrica sparisce: si vede la legge $e^{\lambda_1 t}$, non da quale autovettore viene. Inoltre $u_{11}$ è una scelta arbitraria: con un'altra base dello stesso piano lo zero starebbe altrove. Perciò il modo è inosservabile solo se $C$ annulla tutto l'autospazio, cioè $Cu_{11}=Cu_{12}=0$. Così la conclusione non dipende dalla base.

Per l'eccitabilità vale lo stesso con $B$: il modo non è eccitabile quando $v_{11}B=v_{12}B=0$.

Autovalori complessi coniugati

Se $A$ è reale, il polinomio caratteristico ha coefficienti reali, e gli autovalori complessi vengono in coppia: con $\lambda=\alpha+\mathrm i\omega$ c'è anche $\lambda^*=\alpha-\mathrm i\omega$. Sono distinti fra loro: se lo sono anche gli altri autovalori, si hanno ancora $n$ autovettori indipendenti. Coniugando $(A-\lambda I)u=0$ si ottiene $(A-\lambda^* I)u^*=0$, perché $A$ è reale: l'autovettore di $\lambda^*$ è $u^*$, senza altri calcoli.

$$U=(u\ \ u^*\ \ u_3\ \cdots\ u_n),\qquad \Lambda=\operatorname{diag}(\lambda,\lambda^*,\lambda_3,\dots,\lambda_n)$$

Il problema è che lo stato è reale, mentre qui compaiono $\mathrm i$ ovunque. Non si vede che andamento abbia $e^{\lambda t}$ con $\lambda$ complesso, e un autovettore come $u=(1,2,1)^\top+\mathrm i\,(0,1,1)^\top$ non si disegna in $\mathbb R^3$. Le sue due parti, invece, sono vettori reali: $(1,2,1)^\top$ e $(0,1,1)^\top$. L'espressione finale è reale, quindi gli $\mathrm i$ si semplificano da soli: conviene toglierli prima.

Si può farlo perché ogni autovettore genera un sottospazio invariante, e ciò che accade in uno non è visto dagli altri. Si lavora solo nel sottospazio della coppia, e per scrivere meno si prende $n=2$, con $\Lambda=\operatorname{diag}(\lambda,\lambda^*)$.

Una base reale

Si scrive $u=u_a+\mathrm i\,u_b$, con $u_a$ e $u_b$ reali (nell'esempio sopra, $(1,2,1)^\top$ e $(0,1,1)^\top$), e si separa $(A-\alpha I-\mathrm i\omega I)(u_a+\mathrm i\,u_b)=0$ in parte reale e parte immaginaria, entrambe nulle:

$$(A-\alpha I)u_a+\omega u_b=0,\qquad (A-\alpha I)u_b-\omega u_a=0$$

È un sistema reale in $u_a$ e $u_b$. Si legge anche così: $Au_a=\alpha u_a-\omega u_b$ e $Au_b=\omega u_a+\alpha u_b$. Nella base $(u_a\ u_b)$ le coordinate di $Au_a$ e $Au_b$ sono $(\alpha,-\omega)^\top$ e $(\omega,\alpha)^\top$: le colonne del blocco $J$ di $A$ in quel piano.

Lo stesso blocco esce dal cambio di base. Poiché $u=u_a+\mathrm i\,u_b$ e $u^*=u_a-\mathrm i\,u_b$ (la matrice a destra è invertibile, quindi $u_a$ e $u_b$ sono indipendenti come $u$ e $u^*$),

$$(u\ \ u^*)=(u_a\ \ u_b)\begin{pmatrix}1&1\\\mathrm i&-\mathrm i\end{pmatrix}$$

quindi

$$\begin{aligned} A&=(u_a\ \ u_b)\,J\,(u_a\ \ u_b)^{-1}\\ J&=\begin{pmatrix}1&1\\\mathrm i&-\mathrm i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\lambda&0\\0&\lambda^*\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\\mathrm i&-\mathrm i\end{pmatrix}^{-1} \end{aligned}$$

Svolgendo i prodotti, con

$$\begin{pmatrix}1&1\\\mathrm i&-\mathrm i\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}\tfrac12&\tfrac1{2\mathrm i}\\[4pt]\tfrac12&-\tfrac1{2\mathrm i}\end{pmatrix}$$

si ottiene

$$J=\begin{pmatrix}\alpha&\omega\\-\omega&\alpha\end{pmatrix}$$

L'esponenziale del blocco

Lo stesso cambio di base vale per l'esponenziale. Con $e^{\lambda t}=e^{\alpha t}e^{\mathrm i\omega t}$ e $e^{\lambda^* t}=e^{\alpha t}e^{-\mathrm i\omega t}$:

$$e^{Jt}=e^{\alpha t}\begin{pmatrix}1&1\\\mathrm i&-\mathrm i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}e^{\mathrm i\omega t}&0\\0&e^{-\mathrm i\omega t}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\tfrac12&\tfrac1{2\mathrm i}\\[4pt]\tfrac12&-\tfrac1{2\mathrm i}\end{pmatrix}$$

Gli elementi sono somme e differenze di $e^{\pm\mathrm i\omega t}$ divise per $2$ o per $2\mathrm i$: sono coseni e seni, perché

$$\cos\omega t=\frac{e^{\mathrm i\omega t}+e^{-\mathrm i\omega t}}{2},\qquad \sin\omega t=\frac{e^{\mathrm i\omega t}-e^{-\mathrm i\omega t}}{2\mathrm i}$$

Quindi

$$\begin{gathered} e^{Jt}=e^{\alpha t}\begin{pmatrix}\cos\omega t&\sin\omega t\\-\sin\omega t&\cos\omega t\end{pmatrix}\\ e^{At}=(u_a\ \ u_b)\,e^{Jt}\,(u_a\ \ u_b)^{-1} \end{gathered}$$

Tutto è tornato reale. $e^{\alpha t}$ decide se l'evoluzione cresce o decade, seno e coseno la fanno oscillare con pulsazione $\omega$.

Un blocco reale: spirale e oscillazione

$c$componente su $u_a$componente su $u_b$

• $e^{Jt}c$

$t$

• $e^{\alpha t}\cos \omega t$
• $e^{\alpha t}$
• $-e^{\alpha t}$

$\alpha$

−0,3

$\omega$

2

Cosa si perde

$u_a$ e $u_b$ non sono autovettori: sono combinazioni di due autovettori, invarianti solo insieme. Anche $J$ non è diagonale. Nel piano generato da $u_a$ e $u_b$ nessuna retta reale è invariante: lo è il piano nel suo insieme. Riassumendo, un autovalore reale dà un sottospazio invariante di dimensione $1$, una coppia complessa coniugata un sottospazio invariante di dimensione $2$. Con gli altri autovalori la matrice resta a blocchi:

$$\begin{aligned} A={}&(u_a\ \ u_b\ \ u_3\cdots u_n)\operatorname{diag}(J,\lambda_3,\dots,\lambda_n)\\ &\cdot(u_a\ \ u_b\ \ u_3\cdots u_n)^{-1} \end{aligned}$$