Modi naturali e cambio di coordinate

L'evoluzione libera come somma di modi

Nelle componenti di $x$ l'evoluzione libera è un intreccio di esponenziali. Lungo gli autovettori di $A$ si scioglie: ogni direzione si muove da sola, con una legge esponenziale propria. Si parte dalla forma esplicita (FE), che separa l'evoluzione libera da quella forzata:

$$\begin{aligned} x(t)&=\underbrace{\Phi(t-t_0)\,x_0}_{x_L(t)}+\underbrace{\int_{t_0}^{t}H(t-\tau)\,u(\tau)\,d\tau}_{x_F(t)}\\ y(t)&=\underbrace{\Psi(t-t_0)\,x_0}_{y_L(t)}+\underbrace{\int_{t_0}^{t}W(t-\tau)\,u(\tau)\,d\tau}_{y_F(t)} \end{aligned}$$

con $\Phi(t)=e^{At}$, $H(t)=\Phi(t)B$, $\Psi(t)=C\Phi(t)$ e $W(t)=CH(t)+D\,\delta(t)$.

$A$ ha autovalori $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ e autovettori $u_1,\dots,u_n$, reali e indipendenti. Le colonne di $U$ sono gli $u_i$; le righe di $U^{-1}$ sono i $v_i$. Da $U^{-1}U=I$ segue $v_iu_j=1$ se $i=j$ e $0$ altrimenti. Con $\Lambda$ diagonale degli autovalori:

$$A=U\Lambda U^{-1}=\sum_{i=1}^{n}\lambda_i\,u_iv_i$$

Le potenze si semplificano perché $U^{-1}U=I$ si cancella fra due fattori: $A^k=U\Lambda^kU^{-1}$. Nella serie dell'esponenziale ogni $\lambda_i$ diventa $e^{\lambda_it}$:

$$\begin{aligned} e^{At}&=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{A^kt^k}{k!}\\ &=Ue^{\Lambda t}U^{-1}\\ &=\sum_{i=1}^{n}e^{\lambda_it}\,u_iv_i \end{aligned}$$

Applicata a $x_0$ si ottiene l'evoluzione libera:

$$x_L(t)=e^{At}x_0=\sum_{i=1}^{n}c_i\,e^{\lambda_it}\,u_i,\qquad c_i=v_ix_0$$

$c_i$ è uno scalare (riga per colonna). Ogni addendo è un modo naturale: la direzione $u_i$ con la sua legge $e^{\lambda_it}$. A $t=0$ i pezzi ricompongono lo stato, $\sum_i c_iu_i=x_0$, perché $\sum_i u_iv_i=UU^{-1}=I$.

I modi nel piano

Con $x\in\mathbb R^2$ lo stato è la somma di due vettori, uno lungo $u_1$ e uno lungo $u_2$, che cambiano solo di lunghezza. Un autovalore positivo allunga la componente esponenzialmente, uno negativo la accorcia verso zero, uno nullo la lascia a $c_i$. Così si intuisce la traiettoria senza calcolarla:

• con $\lambda_1,\lambda_2>0$ lo stato si allontana lungo entrambe le direzioni;
• con $\lambda_1=0$ e $\lambda_2>0$ la componente su $u_1$ resta $c_1$ e quella su $u_2$ cresce: la traiettoria è una retta parallela a $u_2$;
• con $\lambda_1>0$ e $\lambda_2<0$ la componente su $u_1$ cresce e quella su $u_2$ si spegne: la traiettoria curva verso la direzione di $u_1$.

Le componenti lungo $u_1$ e $u_2$

Piano di stato

$x_0$$c_1{u}_1$$c_2{u}_2$$x_1$$x_2$

• direzione $u_1$
• direzione $u_2$
• $x_L(t)$

Componenti nel tempo

$t$

• lungo $u_1$: $c_1{e}^{{\lambda }_{1}t}$
• lungo $u_2$: $c_2{e}^{{\lambda }_{2}t}$

${\lambda }_1$

0,2

${\lambda }_2$

0,6

$x_{01}$

1

$x_{02}$

0

Le direzioni degli autovettori sono sottospazi invarianti. Se $x_0=\alpha u_i$, allora $c_j=\alpha\,v_ju_i=0$ per $j\neq i$: lo stato non esce da quella retta. In dimensione maggiore vale lo stesso per il sottospazio generato da alcuni autovettori. Ogni direzione si studia senza guardare le altre, e se un modo diverge basta scegliere $x_0$ con $c_i=0$ per non vederlo nell'evoluzione libera.

Uscita: modi osservabili

Per l'uscita basta applicare $C$ all'evoluzione dello stato:

$$y_L(t)=\Psi(t)x_0=Cx_L(t)=\sum_{i=1}^{n}c_i\,e^{\lambda_it}\,(Cu_i)$$

Resta una combinazione di modi naturali, ma se $Cu_i=0$ il modo $i$ non compare: è non osservabile. Il modo esiste nello stato, l'uscita non lo vede. Con più uscite $Cu_i$ è un vettore e deve annullarsi per intero.

Un modo che scompare dall'uscita

$t$

• modo 1
• modo 2
• uscita $y_L(t)$

$c_1$

1

$C{u}_1$

1

Ingresso: modi eccitabili

La risposta forzata dipende da $H(t)=e^{At}B$. Con la stessa decomposizione:

$$H(t)=Ue^{\Lambda t}U^{-1}B=\sum_{i=1}^{n}e^{\lambda_it}\,u_i\,(v_iB)$$

È ancora una combinazione di modi naturali, non necessariamente tutti: se $v_iB=0$ il modo $i$ non compare in $H$ e non è eccitabile con un impulso in ingresso. Qui si guarda da fuori verso dentro, mentre l'osservabilità guarda da dentro verso fuori. E $v_iB$ è fissato da $B$: non lo si sceglie, come invece $x_0$.

Con un solo ingresso $B$ è un vettore e $v_iB$ è uno scalare. Con $p>1$ ingressi:

$$B=\begin{pmatrix}b_1&\cdots&b_p\end{pmatrix},\quad v_iB=\begin{pmatrix}v_ib_1&\cdots&v_ib_p\end{pmatrix}$$

Se la riga è tutta nulla il modo non è eccitabile. Altrimenti lo è, ma solo con impulsi sugli ingressi che corrispondono a colonne non nulle: la colonna $j$ di $H$ è la risposta all'impulso sull'ingresso $j$, e il modo vi compare con coefficiente $u_i\,(v_ib_j)$, nullo se $v_ib_j=0$. Per sapere se un modo è eccitabile in generale basta che la riga non sia nulla.

In uscita:

$$W(t)=\sum_{i=1}^{n}e^{\lambda_it}\,(Cu_i)(v_iB)+D\,\delta(t)$$

Un modo compare nella risposta impulsiva in uscita solo se è sia osservabile sia eccitabile. Se manca, può mancare per due ragioni diverse: $Cu_i=0$ oppure $v_iB=0$.

Cambio di coordinate

Lo stato $x\in X\subseteq\mathbb R^n$ raccoglie grandezze fisiche (tensioni, correnti, posizioni, temperature), ma non sempre sono quelle che rendono chiara la dinamica. Lo stesso vettore si può leggere in un'altra base:

$$z=Tx\quad\Longleftrightarrow\quad x=T^{-1}z$$

$T$ è invertibile e costante, quindi la trasformazione è lineare e stazionaria. Con $T(t)$ variabile nel tempo il sistema perderebbe la stazionarietà. Le nuove coordinate possono non avere un significato fisico: il vettore è lo stesso, cambiano le sue componenti.

Si deriva $z$ e si sostituisce $x=T^{-1}z$:

$$\begin{aligned} \dot z&=T\dot x=TAx+TBu\\ &=\underbrace{TAT^{-1}}_{\tilde A}z+\underbrace{TB}_{\tilde B}u\\ y&=\underbrace{CT^{-1}}_{\tilde C}z+\underbrace{D}_{\tilde D}u \end{aligned}$$

$\tilde D=D$ perché il collegamento diretto fra ingresso e uscita non passa dallo stato. Invertendo, $A=T^{-1}\tilde AT$.

Confrontando $A=T^{-1}\tilde AT$ con $A=U\Lambda U^{-1}$ si sceglie $T^{-1}=U$ e $\tilde A=\Lambda$, cioè

$$z=U^{-1}x\quad\Longleftrightarrow\quad x=Uz=\begin{pmatrix}u_1&\cdots&u_n\end{pmatrix}z$$

Le colonne di $U$ sono i vettori della nuova base scritti nelle vecchie coordinate: con $z$ che ha un solo $1$ nella posizione $i$ si ottiene $x=u_i$. L'ordine delle colonne fissa l'ordine delle nuove coordinate e dei modi. Con questa scelta

$$\tilde A=U^{-1}AU=\Lambda$$

La dinamica diventa diagonale: ogni $z_i$ evolve da sola con $\lambda_i$. Tutto questo vale con autovalori $\lambda_i$ reali.

Lo stesso stato in due basi

$x$$z_1{u}_1$$z_2{u}_2$$x_1$$x_2$

• direzione $u_1$
• direzione $u_2$

$x_1$

1

$x_2$

−1,5