Modi naturali e sistemi a tempo discreto

Una coppia complessa si muove in un piano

Una matrice reale ha autovalori complessi solo in coppie coniugate, $\lambda=\alpha+\mathrm i\omega$ e $\lambda^*$, con autovettori coniugati $u=u_a+\mathrm i\,u_b$ e $u^*$. L'evoluzione però resta reale. Si sostituiscono allora $u$ e $u^*$ con i due vettori reali $u_a$ e $u_b$: generano un piano invariante, e il resto della base non cambia.

Come $A$ agisce sul piano si legge separando parte reale e parte immaginaria di $Au=\lambda u$:

$$\begin{aligned} Au_a&=\alpha u_a-\omega u_b\\ Au_b&=\omega u_a+\alpha u_b \end{aligned}$$

Nella base $(u_a\ u_b)$ il blocco è $\begin{pmatrix}\alpha&\omega\\-\omega&\alpha\end{pmatrix}$, e il suo esponenziale è $e^{\alpha t}$ per una rotazione di angolo $\omega t$:

$$e^{At}\big|_{\text{piano}}=e^{\alpha t}\begin{pmatrix}\cos\omega t&\sin\omega t\\-\sin\omega t&\cos\omega t\end{pmatrix}$$

Ampiezza e fase del modo

Siano $v_a$ e $v_b$ le righe di $U^{-1}$ che corrispondono a $u_a$ e $u_b$, e $c_a=v_ax_0$, $c_b=v_bx_0$ le coordinate dello stato iniziale nel piano. Sono libere e indipendenti, perché dipendono solo da $x_0$:

$$\begin{aligned} x_c(t)=e^{\alpha t}\bigl[&(c_a\cos\omega t+c_b\sin\omega t)\,u_a\\ +&(-c_a\sin\omega t+c_b\cos\omega t)\,u_b\bigr] \end{aligned}$$

Per riunire seno e coseno si pone $m=\sqrt{c_a^2+c_b^2}$, $c_a=m\sin\varphi$, $c_b=m\cos\varphi$: è possibile perché $(c_a/m)^2+(c_b/m)^2=1$. Con le formule di addizione:

$$\begin{aligned} x_c(t)=m\,e^{\alpha t}\bigl[&\sin(\omega t+\varphi)\,u_a\\ +&\cos(\omega t+\varphi)\,u_b\bigr] \end{aligned}$$

I due vettori non sono autovettori: insieme formano un solo modo. Seno e coseno sono in quadratura: quando una componente è massima l'altra è nulla, e lo stato gira nel piano. Partire lungo $u_a$ non lo tiene su $u_a$. L'inviluppo $e^{\alpha t}$ decide la forma: con $\alpha<0$ la spirale entra nell'origine, con $\alpha>0$ esce, con $\alpha=0$ si chiude.

Un modo pseudoperiodico

$x_0$$u_a$$u_b$

• stato $x_c(t)$

$t$

• lungo $u_a$
• lungo $u_b$
• inviluppo $m{e}^{\alpha t}$

$\alpha$

−0,15

$\omega$

1,5

$\phi$

0,5

$m$

1,2

Il modo di una coppia complessa è pseudoperiodico: sarebbe periodico senza il fattore esponenziale. Quello di un autovalore reale è aperiodico. Con $n_1$ autovalori reali e $n_2$ coppie complesse si ha $n_1+2n_2=n$, e nel caso diagonalizzabile:

$$\begin{aligned} x_c(t)&=\sum_{i=1}^{n_1}c_i\,e^{\lambda_it}\,u_i\\ &+\sum_{i=1}^{n_2}m_i\,e^{\alpha_it}\bigl[\sin(\omega_it+\varphi_i)\,u_{ai}\\ &\qquad+\cos(\omega_it+\varphi_i)\,u_{bi}\bigr] \end{aligned}$$

Osservabilità ed eccitabilità di una coppia

Nell'uscita libera $y=Cx$ il modo compare attraverso $Cu_a$ e $Cu_b$. Un modo reale sparisce se $Cu_i=0$; una coppia solo se si annullano entrambi, perché $C$ è reale e $C(u_a+\mathrm i\,u_b)=0$ equivale ai due:

$$Cu_a=0,\qquad Cu_b=0\quad\Rightarrow\quad\text{inosservabile}$$

Dal lato dell'ingresso, $H(t)=e^{At}B$ contiene il fattore $\begin{pmatrix}v_a\\v_b\end{pmatrix}B$: la coppia non è eccitabile se

$$v_aB=0,\qquad v_bB=0$$

$W(t)=Ce^{At}B$ contiene solo i modi insieme osservabili ed eccitabili.

Esempio: massa, molla e smorzatore

Un corpo di massa $M$ su un binario è legato a una molla di rigidezza $k_m$ e a uno smorzatore di coefficiente $k_A$. L'ingresso è la forza, $u=F$, l'uscita la posizione, $y=p$:

$$M\ddot p(t)=F(t)-k_A\dot p-k_mp$$

La posizione non basta come stato: a parità di posizione e di forza il corpo evolve in modo diverso se è fermo o in moto. Serve anche la velocità. L'accelerazione si ricava dall'equazione, quindi non è una variabile di stato. In generale, un'equazione di ordine $n$ ha come stato la variabile e le sue derivate fino all'ordine $n-1$. Con $x_1=p$ e $x_2=\dot p$:

$$\begin{aligned} \dot x_1&=x_2\\ \dot x_2&=-\tfrac{k_m}{M}x_1-\tfrac{k_A}{M}x_2+\tfrac1MF \end{aligned}$$

Il sistema è stazionario perché i parametri non dipendono dal tempo, ed è lineare perché $\ddot p$ è una combinazione lineare di $p$, $\dot p$ e $F$. Quindi:

$$A=\begin{pmatrix}0&1\\-\tfrac{k_m}{M}&-\tfrac{k_A}{M}\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0\\\tfrac1M\end{pmatrix}$$ $$C=\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix},\qquad D=0$$

$D=0$ perché la posizione non dipende direttamente dalla forza. Con $M=1$, $k_m=1$ e $k_A$ da scegliere, $\det(\lambda I-A)=\lambda^2+k_A\lambda+1$ e

$$\lambda_{1,2}=\frac{-k_A\pm\sqrt{k_A^2-4}}{2}$$

• $k_A>2$: autovalori reali, distinti e negativi. Modi aperiodici, la posizione torna a zero senza oscillare.
• $0<k_A<2$: coppia complessa con parte reale $-k_A/2<0$. Modo pseudoperiodico, la posizione oscilla mentre decade.
• $k_A=2$: radici coincidenti, $A$ non diagonalizzabile; il caso si tratta a parte.

Gli autovalori dicono dunque, senza calcolare l'evoluzione, se il sistema torna all'equilibrio e se lo fa oscillando; scegliere $k_A$ progetta il comportamento.

Autovalori e posizione al variare di $k_A$

${\lambda }_1$${\lambda }_2$ReIm

$t$

• posizione $p(t)$

$k_A$

0,6

Sistemi a tempo discreto

Nel tempo discreto lo stato al passo successivo è funzione di quello attuale. Un esempio: gli iscritti ai tre anni di un corso, $x_1(t)$, $x_2(t)$, $x_3(t)$, contati ogni anno. Con $\beta_i$ la frazione di bocciati all'anno $i$, $I(t)$ gli immatricolati e $L(t)$ i laureati:

$$\begin{aligned} x_1(t+1)&=\beta_1x_1(t)+I(t)\\ x_2(t+1)&=\beta_2x_2(t)+(1-\beta_1)x_1(t)\\ x_3(t+1)&=\beta_3x_3(t)+(1-\beta_2)x_2(t)-L(t) \end{aligned}$$

I bocciati restano nell'anno, i promossi passano all'anno dopo, i laureati escono. È lineare e stazionario: con $x=(x_1\ x_2\ x_3)^\top$ e $u=(I\ L)^\top$ si scrive $x(t+1)=Ax(t)+Bu(t)$, con

$$A=\begin{pmatrix}\beta_1&0&0\\1-\beta_1&\beta_2&0\\0&1-\beta_2&\beta_3\end{pmatrix}$$ $$B=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\\0&-1\end{pmatrix}$$

Dal passo alla soluzione

La forma esplicita ha la stessa struttura del continuo, con una somma al posto dell'integrale:

$$\begin{aligned} x(t)&=\Phi(t-t_0)\,x(t_0)\\ &\quad+\sum_{\tau=t_0}^{t-1}H(t-\tau)\,u(\tau) \end{aligned}$$

Un solo passo, da $t$ a $t+1$, dà $x(t+1)=\Phi(1)x(t)+H(1)u(t)$, quindi $A=\Phi(1)$ e $B=H(1)$. Iterando il passo da $t_0$:

$$\begin{aligned} x(t_0+1)&=Ax(t_0)+Bu(t_0)\\ x(t_0+2)&=A^2x(t_0)+ABu(t_0)\\ &\quad+Bu(t_0+1) \end{aligned}$$

Ogni ingresso è moltiplicato per $A$ tante volte quanti sono i passi trascorsi dopo quello in cui ha agito:

$$\begin{aligned} x(t)&=A^{\,t-t_0}x(t_0)\\ &\quad+\sum_{\tau=t_0}^{t-1}A^{\,t-1-\tau}Bu(\tau) \end{aligned}$$

Dunque $\Phi(t)=A^t$ e $H(t)=A^{t-1}B$ per $t\ge1$.

Potenze di $A$ e modi reali

Serve $A^t$ in forma chiusa. Se $A=U\Lambda U^{-1}$, le potenze agiscono sugli autovalori: $A^t=U\Lambda^tU^{-1}$. Con $u_i$ autovettori di $A$ e $v_i$ righe di $U^{-1}$, posto $c_i=v_ix(0)$, l'evoluzione libera è

$$x(t)=\sum_{i=1}^nc_i\,\lambda_i^{\,t}\,u_i$$

Un autovalore reale dà un modo aperiodico:

• $\lambda>1$ cresce, $0<\lambda<1$ decade a zero, $\lambda=1$ resta costante.
• $-1<\lambda<0$ alterna il segno a ogni passo e decade: modo aperiodico alternante convergente.
• $\lambda=-1$ alterna senza cambiare ampiezza.
• $\lambda<-1$ alterna e diverge.

Nel continuo $e^{\lambda t}>0$ non alterna mai: l'alternanza è propria del tempo discreto.

Un modo reale a tempo discreto

$t$

• ${\lambda }^t$

$\lambda$

−0,8

Coppia complessa nel discreto

Per una coppia coniugata si usa la forma polare $\lambda=\rho\,e^{\mathrm i\theta}$: la potenza di $\alpha+\mathrm i\omega$ in forma cartesiana darebbe potenze di binomio, mentre la forma polare separa il modulo dalla fase. Nella base reale $(u_a\ u_b)$ il blocco è $\rho$ per una rotazione di angolo $\theta$; $t$ rotazioni successive fanno una rotazione di $\theta t$:

$$A^t\big|_{\text{piano}}=\rho^{\,t}\begin{pmatrix}\cos\theta t&\sin\theta t\\-\sin\theta t&\cos\theta t\end{pmatrix}$$

Il modo ha la forma del caso continuo, con $\rho^t$ al posto di $e^{\alpha t}$ e $\theta t$ al posto di $\omega t$:

$$\begin{aligned} x(t)=m\,\rho^{\,t}\bigl[&\sin(\theta t+\varphi)\,u_a\\ +&\cos(\theta t+\varphi)\,u_b\bigr] \end{aligned}$$

Con $\rho>1$ l'ampiezza cresce, con $0<\rho<1$ decade, con $\rho=1$ resta costante. Non è alternante come un modo reale negativo, perché $\rho>0$: l'oscillazione viene dalla fase.

Un modo pseudoperiodico a tempo discreto

$x(0)$$x(7)$$u_a$$u_b$

$t$

• lungo $u_a$
• lungo $u_b$
• inviluppo $m{\rho }^t$

$\rho$

0,88

$\theta$

0,7

$\phi$

0,5

$m$

1,2

La geometria non cambia fra continuo e discreto: osservabilità ed eccitabilità di una coppia restano $Cu_a=Cu_b=0$ e $v_aB=v_bB=0$. Cambia solo la legge temporale, esponenziale nel continuo e potenza nel discreto.