Domini e limiti in più variabili

Funzioni e domini

Una funzione $f:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$ manda un vettore di $n$ componenti in uno di $m$. Se $m=1$ è a valori scalari, se $m>1$ è a valori vettoriali.

Il dominio è il sottoinsieme $D\subseteq\mathbb R^n$ dei punti in cui $f$ è definita: $f(x)$ esiste per ogni $x\in D$ e non esiste fuori da $D$. Può essere tutto $\mathbb R^n$ oppure una sua parte. Per descriverlo servono le nozioni seguenti.

• Aperto: formato solo da punti interni.
• Chiuso: contiene tutti i suoi punti di frontiera. Equivale a contenere tutti i suoi punti di accumulazione.
• Limitato: i suoi punti stanno a distanza dall'origine minore o uguale a una costante.
• Compatto: chiuso e limitato.

Le unioni e le intersezioni conservano queste proprietà solo in alcuni casi:

$$\begin{gathered} \text{unione, anche infinita, di aperti: aperto}\\ \text{intersezione finita di aperti: aperto}\\ \text{intersezione, anche infinita, di chiusi: chiuso}\\ \text{unione finita di chiusi: chiuso} \end{gathered}$$

$\varnothing$ e $\mathbb R^n$ sono sia aperti sia chiusi.

Tre domini

Un semipiano aperto. Per $f(x,y)=\ln(x+y-1)$ l'argomento deve essere positivo:

$$D=\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x+y-1>0\}$$

La retta $x+y-1=0$ è la frontiera e non appartiene a $D$. Per sapere da che parte sta il dominio basta provare un punto: $(0,0)$ dà $-1$, quindi $D$ sta dall'altra parte della retta. Il dominio è aperto (la disuguaglianza è stretta) e illimitato. I punti di frontiera sono quelli della retta; i punti di accumulazione sono quelli con $x+y-1\ge 0$, cioè il dominio più la retta.

Un disco bucato. Per

$$f(x,y)=\sqrt{1-x^2-y^2}+\frac{1}{x^2+y^2}$$

servono due condizioni: il radicando è non negativo, cioè $x^2+y^2\le 1$, e il denominatore non è nullo. Una somma di due quadrati si annulla solo se si annullano entrambi, quindi la seconda condizione esclude la sola origine: $(x,y)\neq(0,0)$, non «$x\neq 0$ e $y\neq 0$», che toglierebbe anche gli assi.

$$D=\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x^2+y^2\le 1,\ (x,y)\neq(0,0)\}$$

È un disco di raggio $1$, circonferenza compresa, con un buco nell'origine.

• Frontiera: la circonferenza $x^2+y^2=1$ e l'origine.
• Punti di accumulazione: tutto il disco chiuso $x^2+y^2\le 1$, origine compresa.
• Non è chiuso: l'origine è di accumulazione e non appartiene a $D$.
• Non è aperto: contiene i punti della circonferenza, che sono di frontiera.
• È limitato, ma non essendo chiuso non è compatto.

L'origine è di accumulazione per il disco bucato

$O$$x$$y$

• dominio $D$ (bordo incluso)
• intorno dell'origine di raggio $r$

$r$

1,2

Un semipiano chiuso. Si cerca una funzione con dominio chiuso e illimitato. Per $f(x,y)=x^2+y^2$ il dominio è $\mathbb R^2$, chiuso e illimitato ma anche aperto. Per avere un dominio contenuto strettamente in $\mathbb R^2$ si prende $f(x,y)=\sqrt{x+y-1}$:

$$D=\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x+y-1\ge 0\}$$

Qui la retta è inclusa, quindi $D$ è chiuso. Funzione e dominio sono oggetti diversi: $f$ è una funzione, $D$ un insieme.

Semipiano aperto e chiuso

$\ln (x+y-1)$: aperto

sulla retta, esclusa$(0,0)$$x$$y$

• $D$: $x+y-1>0$

$\sqrt{x+y-1}$: chiuso

sulla retta, inclusa$(0,0)$$x$$y$

• $D$: $x+y-1\ge 0$

Grafico e limitatezza

Il grafico di una funzione è un insieme. Per $f:D\subseteq\mathbb R\to\mathbb R$ sta in $\mathbb R^2$; per una funzione scalare di $n$ variabili sta in $\mathbb R^{n+1}$:

$$G_f=\{(x,y)\in\mathbb R^{n+1}:\ x\in D,\ y=f(x)\}$$

Si definisce anche quando non si può disegnare: con tre o più variabili vive in dimensione almeno quattro.

Una funzione scalare è limitata se esiste $M>0$ con $|f(x)|\le M$ per ogni $x\in D$. Per una funzione a valori vettoriali si misura il valore con la norma:

$$\exists M>0:\ \|f(x)\|\le M\quad\forall x\in D$$

Per le funzioni scalari hanno senso estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo. Per quelle a valori vettoriali non si trasferiscono allo stesso modo, perché $\mathbb R^m$ con $m>1$ non è totalmente ordinato.

Il limite

Sia $f:D\subseteq\mathbb R\to\mathbb R$ e sia $x_0$ un punto di accumulazione di $D$. Serve questa ipotesi perché ci si deve poter avvicinare a $x_0$ con punti di $D$ diversi da $x_0$. Non occorre che $x_0$ stia in $D$, e il valore $f(x_0)$, se esiste, non conta. Per

$$f(x)=\begin{cases}x^2+1&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}$$

si ha $\lim_{x\to 0}f(x)=1$ ma $f(0)=0$.

$$\begin{aligned} \lim_{x\to x_0}f(x)=\ell\iff\ &\forall\varepsilon>0\ \exists\delta_\varepsilon>0:\\ &x\in D,\ 0<|x-x_0|<\delta_\varepsilon\\ &\Rightarrow\ |f(x)-\ell|<\varepsilon \end{aligned}$$

La condizione sulla distanza da $x_0$ dice $x\in B(x_0,\delta_\varepsilon)\setminus\{x_0\}$, l'intorno privato del centro; la conclusione dice $f(x)\in B(\ell,\varepsilon)$. Quindi per ogni intorno di $\ell$ c'è un intorno bucato di $x_0$ i cui punti di $D$ hanno immagine dentro.

Limite in $0$ di $f$, con $f(0)=0$

$\ell =1$$f(0)=0$$x$$y$

• $f(x)=x^2+1$
• $1+\epsilon$
• $1-\epsilon$
• $x=\delta$
• $x=-\delta$

$\epsilon$

0,5

$\delta$

0,4

Per $f:D\subseteq\mathbb R^n\to\mathbb R^m$ la struttura non cambia: le distanze si misurano con la norma, sia fra i punti di partenza sia fra i valori. Per $m=1$ la norma di $f(x)-\ell$ è il valore assoluto.

$$\begin{aligned} \lim_{x\to x_0}f(x)=\ell\iff\ &\forall\varepsilon>0\ \exists\delta_\varepsilon>0:\\ &x\in D,\ 0<\|x-x_0\|<\delta_\varepsilon\\ &\Rightarrow\ \|f(x)-\ell\|<\varepsilon \end{aligned}$$

Limiti infiniti. Per una funzione a valori scalari, con $M\in\mathbb R$, $f(x)\in I(+\infty)$ significa $f(x)>M$ e $f(x)\in I(-\infty)$ significa $f(x)<M$:

$$\begin{aligned} \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty\iff\ &\forall M\in\mathbb R\ \exists\delta_M>0:\\ &x\in D,\ 0<\|x-x_0\|<\delta_M\\ &\Rightarrow\ f(x)>M \end{aligned}$$

Per $-\infty$ l'ultima condizione è $f(x)<M$. L'uscita resta un numero reale, quindi il confronto non cambia.

Il punto all'infinito

In $\mathbb R$ si distinguono $+\infty$ e $-\infty$. In $\mathbb R^n$ si aggiunge un solo elemento, distante dall'origine quanto si vuole:

$$\mathbb R^n_*=\mathbb R^n\cup\{\infty\}$$

Scrivere $x\to\infty$ significa $\|x\|\to+\infty$: conta la distanza dall'origine, non le singole componenti. Un intorno di $\infty$ è l'insieme dei punti di norma maggiore di una costante $a$:

$$I(\infty)=\{x\in\mathbb R^n:\ \|x\|>a\}$$

Con questa definizione ha senso chiedere se $\infty$ sia punto di accumulazione di $D$. Lo è quando ogni intorno $I(\infty)$ contiene punti di $D$, cioè quando $D$ ha punti di norma arbitrariamente grande.

• Il semipiano $x+y-1>0$ di $f(x,y)=\ln(x+y-1)$ ha $\infty$ come punto di accumulazione: si possono studiare i limiti per $\|(x,y)\|\to\infty$.
• Il disco di $f(x,y)=\sqrt{1-x^2-y^2}$, $x^2+y^2\le 1$, è limitato: $\infty$ non è di accumulazione e non si studia il limite all'infinito.

Un intorno di $\infty$ incontra il dominio?

Dominio illimitato: $x+y-1>0$

punto di $D$ nell'intorno$x$$y$

• dominio $D$
• bordo dell'intorno di $\infty$

Dominio limitato: $x^2+y^2\le 1$

punto di $D$ nell'intorno$x$$y$

• dominio $D$
• bordo dell'intorno di $\infty$

$a$

0,2

Prima di chiedersi quanto vale un limite bisogna verificare che il punto verso cui si tende, anche $\infty$, sia di accumulazione per il dominio. Solo allora il limite può esistere finito, esistere infinito o non esistere.