Distanze e insiemi in ℝⁿ

Distanza e intorni

In $\mathbb R$ la distanza fra $a$ e $b$ è $|a-b|$. In $\mathbb R^n$ il valore assoluto diventa una norma:

$$d(x,y)=\|x-y\|$$

È la distanza indotta dalla norma. Si usa la norma euclidea $L^2$; esistono anche $L^1$ e $L^\infty$, e la distanza cambia con la norma scelta. Una distanza gode di quattro proprietà:

$$\begin{aligned} &1)\ d(x,y)\ge 0\\ &2)\ d(x,y)=0\iff x=y\\ &3)\ d(x,y)=d(y,x)\\ &4)\ d(x,y)\le d(x,z)+d(y,z) \end{aligned}$$

Si può anche prescindere dalla norma: una funzione $d:\mathbb R^n\times\mathbb R^n\to\mathbb R^+$ che soddisfa 1)–4) è una distanza.

Dati $\bar x\in\mathbb R^n$ e $\rho>0$, l'intorno sferico di centro $\bar x$ e raggio $\rho$ è l'insieme dei punti a distanza minore di $\rho$ da $\bar x$:

$$B(\bar x,\rho)=\{x\in\mathbb R^n:\ \|x-\bar x\|<\rho\}$$

In $\mathbb R$ è l'intervallo $(\bar x-\rho,\ \bar x+\rho)$. La sua forma dipende dalla norma. Nel piano, la norma di $(x,y)$ è $|x|+|y|$ per $L^1$, $\max\{|x|,|y|\}$ per $L^\infty$, $\sqrt{x^2+y^2}$ per $L^2$.

Punti interni, esterni, di frontiera

Il complementare di $E\subseteq\mathbb R^n$ è $C_o(E)=\{x\in\mathbb R^n:\ x\notin E\}$. Si ha $C_o(\mathbb R^n)=\varnothing$ e $C_o(\varnothing)=\mathbb R^n$. Un punto $\bar x\in\mathbb R^n$ è:

• interno a $E$ se esiste $B(\bar x,\rho)\subseteq E$: ne basta uno;
• esterno a $E$ se esiste $B(\bar x,\rho)\subseteq C_o(E)$, cioè se è interno al complementare;
• di frontiera per $E$ se ogni intorno contiene punti di $E$ e punti del complementare:

$$\forall\rho>0:\ B(\bar x,\rho)\cap E\neq\varnothing\ \wedge\ B(\bar x,\rho)\cap C_o(E)\neq\varnothing$$

Ogni punto di $\mathbb R^n$ è di una sola di queste tre specie. $\partial E$ indica l'insieme dei punti di frontiera di $E$, $\mathring E$ quello dei punti interni.

Un punto interno del disco

$\bar{x}$$x$$y$

• disco aperto $x^2+y^2<1$ (bordo escluso)
• intorno $B(\bar{x},1-\Vert \bar{x}\Vert )$ contenuto nel disco

$\bar{x}$, ascissa

0,4

$\bar{x}$, ordinata

0,3

Esempio in $\mathbb R^2$. Un quadrato di lato 1 con i lati $y=0$ e $y=1$ esclusi, più un punto isolato:

$$E=\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ 0\le x\le 1,\ 0<y<1\}\cup\{(2,2)\}$$

I punti di frontiera sono i quattro lati e il punto $(2,2)$. Anche i lati esclusi sono di frontiera: ogni loro intorno contiene punti del quadrato e punti fuori. I punti interni sono quelli con $0<x<1$ e $0<y<1$.

Punti di accumulazione e punti isolati

Un punto $\bar x\in\mathbb R^n$ è di accumulazione per $E$ se ogni suo intorno contiene un punto di $E$ diverso da $\bar x$:

$$\forall\rho>0:\ \bigl(B(\bar x,\rho)\cap E\bigr)\setminus\{\bar x\}\neq\varnothing$$

Può appartenere a $E$ oppure no. $\mathcal D E$ indica l'insieme dei punti di accumulazione. Un punto isolato di $E$ è un punto $\bar x\in E$ che non è di accumulazione.

• Un punto interno è sempre di accumulazione.
• Un punto isolato non è di accumulazione, ma è di frontiera.
• I punti di accumulazione si cercano fra quelli interni e di frontiera, escludendo gli isolati.

Nell'esempio sono di accumulazione tutti i punti del quadrato, lati esclusi compresi. Il punto $(2,2)$ è isolato.

Frontiera e punto isolato

$(2,2)$$\bar{x}$$x$$y$

• quadrato, lati $y=0$ e $y=1$ esclusi
• lati $x=0$ e $x=1$, inclusi
• intorno $B(\bar{x},\rho )$

$\bar{x}$, ascissa

0,5

$\bar{x}$, ordinata

1

$\rho$

0,25

Aperti, chiusi, chiusura

Un insieme $E\subseteq\mathbb R^n$ è aperto se ogni suo punto è interno; è chiuso se il suo complementare è aperto. Può non essere né l'uno né l'altro.

L'insieme vuoto è aperto, perché non ha punti che violino la condizione (la soddisfa vacuamente). Il suo complementare $\mathbb R^n$ è quindi chiuso. Ma $\mathbb R^n$ è anche aperto, e il suo complementare $\varnothing$ è chiuso. Sono i soli sottoinsiemi di $\mathbb R^n$ aperti e chiusi insieme (fatto qui non dimostrato).

La chiusura di $E$ si ottiene aggiungendo i punti di frontiera che non gli appartengono:

$$\overline E=\mathring E\cup\partial E$$

• Nell'esempio del quadrato, i lati esclusi sono di frontiera ma non stanno in $E$. La chiusura è $\overline E=\{0\le x\le 1,\ 0\le y\le 1\}\cup\{(2,2)\}$, diversa da $E$.
• Il disco $x^2+y^2<1$ ha per chiusura $x^2+y^2\le 1$; questo insieme coincide con la propria chiusura.
• Un insieme di quattro punti isolati in $\mathbb R^3$ non ha punti interni e ha $\partial E=E$. Quindi $\overline E=E$.

Caratterizzazione degli insiemi chiusi. Sono equivalenti:

$$1)\ E\text{ è chiuso}\iff 2)\ \partial E\subseteq E\iff 3)\ \mathcal D E\subseteq E$$

Si dimostra $1\Rightarrow 2\Rightarrow 3\Rightarrow 1$.

• $1\Rightarrow 2$. Sia $\bar x\notin E$, quindi $\bar x\in C_o(E)$, che è aperto. Esiste $B(\bar x,\rho)\subseteq C_o(E)$, che non incontra $E$: $\bar x\notin\partial E$.
• $2\Rightarrow 3$. Per assurdo sia $\bar x\in\mathcal D E$ con $\bar x\notin E$. Ogni intorno incontra $E$, e contiene $\bar x\in C_o(E)$: allora $\bar x\in\partial E\subseteq E$, contraddizione.
• $3\Rightarrow 1$. Sia $\bar x\in C_o(E)$. Non sta in $E$ e non è di accumulazione, quindi esiste $B(\bar x,\rho)$ senza punti di $E$, cioè $B(\bar x,\rho)\subseteq C_o(E)$. Dunque $C_o(E)$ è aperto.

Ne segue che $E$ è chiuso se e solo se $E=\mathring E\cup\partial E=\overline E$.

Disequazioni, equazioni e insiemi aperti o chiusi

Per gli insiemi definiti da vincoli vale una regola pratica, da ricordare senza dimostrarla e valida per funzioni continue. I punti di frontiera stanno dove vale l'uguaglianza.

• Solo disequazioni strette: l'insieme è aperto. Esempio in $\mathbb R^3$:

$$\{(x,y,z):\ x^2+y^2+z^2<1,\ x+2y-z>-4\}$$

• Equazioni e disequazioni tutte non strette: l'insieme è chiuso.
• Condizioni strette e non strette insieme: può non essere né aperto né chiuso.

Serve perché i vincoli dei modelli di ottimizzazione sono equazioni e disequazioni.

L'esempio del quadrato mescola le due specie, e non è né aperto né chiuso. Con tutte le disuguaglianze non strette diventa chiuso. Con tutte strette non diventa aperto: $(2,2)$ è isolato, quindi non interno.

Insiemi limitati e compatti

$E\subseteq\mathbb R^n$ è limitato se esiste $M>0$ con $\|x\|<M$ per ogni $x\in E$: gli elementi non crescono arbitrariamente. È compatto se è chiuso e limitato.

Teorema di Weierstrass (enunciato senza dimostrazione): una funzione continua su un insieme compatto non vuoto ammette massimo e minimo. La compattezza serve nei modelli e negli algoritmi di ottimizzazione.

Un insieme di punti con accumulazione

$$\begin{aligned} E=\Bigl\{(x,y):\ &x=\frac{1}{k+1},\ y=\frac{1}{k+1},\\ &k=0,1,2,\dots\Bigr\} \end{aligned}$$

L'origine è di accumulazione per $E$, perché i punti si avvicinano a $(0,0)$, ma $(0,0)\notin E$: $E$ non è chiuso. Ogni suo punto è isolato, quindi non interno: $E$ non è aperto. Aggiungendo $(0,0)$ diventa chiuso; fermando $k$ a un valore finito si ha un insieme finito di punti isolati.

I punti si accumulano nell'origine

$(0,0)$$x$$y$

• intorno $B((0,0),\rho )$

$\rho$

0,4