Limiti, funzioni vettoriali e successioni

Un'unica definizione di limite

Il limite $\lim_{x\to x_0}f(x)=l$ di una funzione $f:D\subseteq\mathbb R\to\mathbb R$ ha nove casi: $x_0$ finito, $+\infty$ o $-\infty$, e $l$ finito, $+\infty$ o $-\infty$. La frase è sempre la stessa: comunque si fissi un intorno del valore limite, c'è un intorno del punto che $f$ manda dentro il primo. Cambia solo la forma degli intorni. Il punto stesso è escluso ($x\ne x_0$): il limite non dipende dal valore di $f$ in $x_0$, che può anche non essere definito.

Punto finito, limite finito. Con $B(x_0,\varepsilon)=\{x\in\mathbb R:|x-x_0|<\varepsilon\}$:

$$\begin{aligned} &\forall\varepsilon>0\ \exists\delta_\varepsilon>0:\\ &x\in D,\ 0<|x-x_0|<\delta_\varepsilon\\ &\Rightarrow\ |f(x)-l|<\varepsilon \end{aligned}$$

Con le palle, la stessa cosa:

$$\begin{aligned} &\forall B(l,\varepsilon)\ \exists B(x_0,\delta_\varepsilon):\\ &x\in\bigl(D\cap B(x_0,\delta_\varepsilon)\bigr)\setminus\{x_0\}\\ &\Rightarrow\ f(x)\in B(l,\varepsilon) \end{aligned}$$

Il limite di $x^2$ per $x\to 1$

$(x_0,l)$$x$$y$

• $f(x)=x^2$
• riquadro $\delta \times \epsilon$

$\epsilon$

0,5

$\delta$

0,2

Limite infinito. Al posto di $\varepsilon$ si fissa una soglia $M$:

$$\begin{aligned} \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty&:\ \forall M\ \exists\delta_M>0:\\ &x\in D,\ 0<|x-x_0|<\delta_M\\ &\Rightarrow\ f(x)>M \end{aligned}$$

Per $-\infty$ si chiede $f(x)<M$.

Punto di accumulazione. Per studiare il limite in $x_0$, ogni intorno di $x_0$ deve contenere punti di $D$ diversi da $x_0$: solo così ci si avvicina a $x_0$ con punti del dominio, e la condizione non è vuota.

Punto infinito. $x\to+\infty$ ha senso se $+\infty$ è punto di accumulazione di $D$: si devono poter prendere punti di $D$ arbitrariamente lontani. Con limite finito:

$$\begin{aligned} &\forall\varepsilon>0\ \exists M_\varepsilon:\\ &x\in D,\ x>M_\varepsilon\\ &\Rightarrow\ |f(x)-l|<\varepsilon \end{aligned}$$

Gli intorni sferici

Per unificare si aggiungono gli infiniti alle semirette:

$$\begin{aligned} B(+\infty,\varepsilon)&=\{x\in\mathbb R:x>\varepsilon\}\\ &\quad\cup\{+\infty\}\\ B(-\infty,\varepsilon)&=\{x\in\mathbb R:x<\varepsilon\}\\ &\quad\cup\{-\infty\} \end{aligned}$$

Sia $\mathbb R^*=\mathbb R\cup\{+\infty\}\cup\{-\infty\}$. Per $\bar x\in\mathbb R^*$, $N(\bar x)$ è un insieme aperto che contiene un intorno sferico di $\bar x$. Con $x_0,l\in\mathbb R^*$ e $x_0$ punto di accumulazione di $D$, tutti i casi sono:

$$\begin{aligned} \lim_{x\to x_0}f(x)=l\ \iff\ &\forall\,\mathcal U(l)\ \exists\,N(x_0):\\ &x\in\bigl(D\cap N(x_0)\bigr)\setminus\{x_0\}\\ &\Rightarrow\ f(x)\in\mathcal U(l) \end{aligned}$$

dove $\mathcal U(l)$ è un intorno di $l$.

Più variabili

In $\mathbb R^n$ la distanza diventa la norma. Sia $\mathbb R^n_*=\mathbb R^n\cup\{\infty\}$, con un solo punto all'infinito perché $\mathbb R^n$ non è ordinato, e

$$\begin{aligned} B(x_0,\varepsilon)&=\{x\in\mathbb R^n:\|x-x_0\|<\varepsilon\}\\ B(\infty,a)&=\{x\in\mathbb R^n:\|x\|>a\}\\ &\quad\cup\{\infty\} \end{aligned}$$

Per $f:D\subseteq\mathbb R^n\to\mathbb R$ e $x_0\in\mathbb R^n$ di accumulazione per $D$, il limite è $l$, $+\infty$ o $-\infty$. Nel caso finito:

$$\begin{aligned} &\forall\varepsilon>0\ \exists\delta_\varepsilon>0:\\ &x\in D,\ 0<\|x-x_0\|<\delta_\varepsilon\\ &\Rightarrow\ |f(x)-l|<\varepsilon \end{aligned}$$

Per $\|x\|\to\infty$ si chiede un raggio $a_\varepsilon$: $x\in D$, $\|x\|>a_\varepsilon\Rightarrow|f(x)-l|<\varepsilon$. Per le funzioni scalari di $n$ variabili valgono le proprietà dei limiti di una variabile, come la linearità e la permanenza del segno.

Funzioni a valori vettoriali

Sia $f:D\subseteq\mathbb R^n\to\mathbb R^m$ con $m>1$ e $x_0\in\mathbb R^n$ di accumulazione per $D$. Il limite può essere un vettore $l\in\mathbb R^m$ oppure $\infty$: in $\mathbb R^m$ non c'è un ordine, quindi non si distingue $+\infty$ da $-\infty$.

$$\begin{aligned} \lim_{x\to x_0}f(x)=l&:\ \forall\varepsilon>0\ \exists\delta_\varepsilon>0:\\ &x\in D,\ 0<\|x-x_0\|<\delta_\varepsilon\\ &\Rightarrow\ \|f(x)-l\|<\varepsilon \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \lim_{x\to x_0}f(x)=\infty&:\ \forall M\ \exists\delta_M>0:\\ &x\in D,\ 0<\|x-x_0\|<\delta_M\\ &\Rightarrow\ \|f(x)\|>M \end{aligned}$$

Anche qui vale la definizione unica, con $x_0\in\mathbb R^n_*$ e $l\in\mathbb R^m_*$: cambiano solo gli intorni, e in $\mathbb R^m$ con $m>1$ c'è un solo infinito. Il limite, se esiste, è unico.

Successioni

Una successione di punti di $\mathbb R^n$ è una funzione $f:\mathbb N\to\mathbb R^n$, o definita sui naturali $k>\bar k$. Si scrive $\{x_k\}$ con $x_k=f(k)$. Per esempio, una successione di punti di $\mathbb R^3$:

$$x_k=\begin{pmatrix}\dfrac1{k+1}\\k^2-1\\k\end{pmatrix}\in\mathbb R^3$$

Le successioni sono ciò che genera un algoritmo iterativo: da $x_0$ ricava $x_1$, poi $x_2$, e così via, con punti che approssimano la soluzione. Per un algoritmo si studia se la successione converge e se il limite ha le proprietà richieste. Il metodo del simplesso genera una successione di punti; l'addestramento di una rete neurale, una successione di configurazioni dei pesi.

Sottosuccessioni

Si sceglie una successione infinita di indici interi crescenti $K=\{k_1,k_2,\dots,k_i,\dots\}$ e si pone $y_1=x_{k_1}$, $y_2=x_{k_2}$, e così via. La successione $\{y_k\}$ è una sottosuccessione: elimina infiniti termini e ne conserva infiniti. Con $K=\{0,2,4,6,8,\dots\}$ si ottiene $\{x_k\}_K=\{x_0,x_2,x_4,\dots\}$.

Limite di una successione

L'unico punto di accumulazione di $\mathbb N$ è $+\infty$, quindi si studia solo $k\to\infty$. Il limite, se esiste, è $\bar x\in\mathbb R^n$ oppure $\infty$, come per le funzioni a valori vettoriali.

$$\begin{aligned} \lim_{k\to\infty}x_k=\bar x&:\ \forall\varepsilon>0\ \exists k_\varepsilon:\\ &k\ge k_\varepsilon\\ &\Rightarrow\ \|x_k-\bar x\|<\varepsilon \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \lim_{k\to\infty}x_k=\infty&:\ \forall M>0\ \exists k_M:\\ &k\ge k_M\ \Rightarrow\ \|x_k\|>M \end{aligned}$$

La condizione $k\ge k_\varepsilon$ è un intorno infinito rispetto ai naturali. Se il limite esiste ed è $\bar x\in\mathbb R^n$, la successione è convergente; se è $\infty$, è divergente (la norma cresce senza limite, in nessuna direzione particolare); se non è né l'una né l'altra, è irregolare.

Una successione convergente

$k$$x_k$

• $\bar{x}=1$
• $x_k$
• $k\ge k_{\epsilon }$
• $|x_k-\bar{x}|<\epsilon$

$\epsilon$

0,3

$k_{\epsilon }$

4

Esempio di successione irregolare. Si pone $x_k=1/k$ per $k$ pari e $x_k=k$ per $k$ dispari, con $k\ge1$. La sottosuccessione degli indici pari tende a $0$, quella degli indici dispari a $+\infty$. Le due sottosuccessioni vanno a valori diversi: la successione non è né convergente né divergente.

Una successione irregolare e le sue sottosuccessioni

$k$$x_k$

• indici pari
• indici dispari