Formule essenziali · C1

Formulario

4 pagine. Aggiornato il 10 ottobre 2026.

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Rappresentazione con lo stato Forma stazionaria x(t) = φt − t0, x(t0), u [t0,t) , y(t) = ηx(t), u(t) Sistema lineare x(t) = xL(t) + xF (t) libera xL(t) = φt − t0, x(t0), 0, forzata xF (t) = φt − t0, 0, u [t0,t) Dimensioni x ∈ Rn, u ∈ Rp, y ∈ Rq ; Φ: n × n, H: n × p, Ψ: q × n, W : q × p Rappresentazioni lineari stazionarie Tempo continuo Tempo discreto Forma implicita ̇x(t) = A x(t) + B u(t) y(t) = C x(t) + D u(t) x(t0) = x0 x(t + 1) = A x(t) + B u(t) y(t) = C x(t) + D u(t) x(t0) = x0 Evoluzione libera xL(t) = eA(t−t0) x0 xL(t) = At−t0 x0 Evoluzione forzata xF (t) = Z t t0 eA(t−τ )B u(τ ) dτ xF (t) = t−1X τ =t0 At−1−τ B u(τ ) Forma esplicita x(t) = Φ(t − t0) x0 + Z t t0 H(t − τ ) u(τ ) dτ y(t) = Ψ(t − t0) x0 + Z t t0 W (t − τ ) u(τ ) dτ x(t) = Φ(t − t0) x0 + t−1X τ =t0 H(t − τ ) u(τ ) y(t) = Ψ(t − t0) x0 + tX τ =t0 W (t − τ ) u(τ ) Φ e H Φ(t) = eAt H(t) = eAtB Φ(k) = Ak H(k) = Ak−1B (k ≥ 1) Ψ e W Ψ(t) = C eAt W (t) = C eAtB + D δ(t) Ψ(k) = C Ak W (k) = C Ak−1B (k ≥ 1) W (0) = D Dalla esplicita A = ̇Φ(0), B = H(0), C = Ψ(0) A = Φ(1), B = H(1) (non H(0)) Proprietà della forma esplicita (continuo e discreto) Proprietà di Φ Φ(0) = I, Φ(t − t0) = Φ(t − t1) Φ(t1 − t0) Risposta all’impulso u = ej δ, x0 = 0: x(t) = H(t) ej , y(t) = W (t) ej (colonne j)

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Forma spettrale e coppie complesse (continuo e discreto) Forma spettrale A = U ΛU −1 = nX i=1 λi ui vi se gi = ri per ogni i vi righe di U −1, vi uj = δij , ci = vi x0 Coppia complessa λ = α + i ω (ω > 0), u = uA + i uB A (uA uB ) = (uA uB ) J, J = α ω −ω α ! Coefficienti, t0 = 0 cA = vA x0 = m sin φ, cB = vB x0 = m cos φ, m = pc2 A + c2 B Piano della coppia x0 = z1 uA + z2 uB : z(t) = eJ(t−t0) z(t0) spirale verso 0 (α < 0), divergente (α > 0), curva chiusa (α = 0) Modi Tempo continuo Tempo discreto Forma spettrale eAt = nX i=1 eλit ui vi At = nX i=1 λt i ui vi Libera, t0 = 0 xL(t) = nX i=1 ci eλit ui xL(t) = nX i=1 ci λt i ui Modo reale λ < 0: converge a 0 λ = 0: costante λ > 0: diverge |λ| < 1: converge a 0 λ = 1: costante; λ = −1: ±ci ui |λ| > 1: diverge λ < 0: alternante λ = 0: nullo per t ≥ 1 Blocco della coppia eJt = eαt cos ωt sin ωt − sin ωt cos ωt ! Jt = ρt cos θt sin θt − sin θt cos θt ! λ = ρ eiθ , 0 < θ < π ρ = √α2 + ω2 Modo pseudoperiodico m eαt sin(ωt + φ) uA + cos(ωt + φ) uB m ρt sin(θt + φ) uA + cos(θt + φ) uB Andamento α < 0: converge a 0 α = 0: oscilla, periodo 2π/ω α > 0: diverge ρ < 1: converge a 0 ρ = 1: limitato ρ > 1: diverge mai alternante Osservabilità ed eccitabilità (continuo e discreto) Modi in Ψ, H, W Ψ(t) = nX i=1 eλit (C ui) vi, H(t) = nX i=1 eλit ui (vi B) W (t) = nX i=1 eλit (C ui)(vi B) + D δ(t): solo modi eccitabili e osservabili Non osservabile C ui = 0; autovalore multiplo: C Ui = 0; coppia: C uA = C uB = 0 Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 2

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Non eccitabile vi B = 0; autovalore multiplo: Vi B = 0; coppia: vA B = vB B = 0 dall’ingresso j: vi bj = 0 Coefficiente in W C Ri B = (C Ui)(Vi B): con ri > 1 può annullarsi anche se il modo è eccitabile e osservabile Autovalori multipli e forma reale a blocchi Molteplicità det(A − λI) = (−1)n QK i=1(λ − λi)ri , gi = n − rk(A − λiI), 1 ≤ gi ≤ ri Matrici residue eAt = KX i=1 eλitRi, Ri = UiVi, rk Ri = ri, Im Ri = Ei = Ker(A − λiI) Forma reale a blocchi se gi = ri per gli autovalori reali e le coppie sono semplici: T −1 = (u1 · · · uμ u1A u1B · · · uνA uνB ), μ + 2ν = n T AT −1 = diag(λ1, . . . , λμ, J1, . . . , Jν ) Cambio di coordinate Nuove coordinate z = T x, T invertibile e costante ̃A = T AT −1, ̃B = T B, ̃C = C T −1, ̃D = D Base degli autovettori T = U −1: ̃A = Λ, righe di ̃B: vi B, colonne di ̃C: C ui Strumenti di calcolo Esponenziale eAt = ∞X k=0 Aktk k! (non elemento per elemento) Derivata d dt eAt = A eAt = eAtA Regola di Leibniz d dt Z b(t) a(t) f (t, τ ) dτ = f t, b(t) ̇b(t) − f t, a(t) ̇a(t) + Z b(t) a(t) ∂f ∂t (t, τ ) dτ Impulso di Dirac Z b a f (τ ) δ(τ − T ) dτ = f (T ) se T ∈ [a, b] Da un’equazione di ordine n alla forma implicita Equazione p(n) + an−1 p(n−1) + · · · + a1 ̇p + a0 p = b u Stato x = p, ̇p, . . . , p(n−1)T: ̇xi = xi+1 per i < n Matrici A =        0 1 · · · 0 ... . . . ... 0 0 · · · 1 −a0 −a1 · · · −an−1        , B =        0 ... 0 b        Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 3

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Campionamento con mantenitore di ordine zero (ZOH) Istanti t = kT , T passo di campionamento Ingresso mantenuto uc(t) = ud(k) per kT ≤ t < (k + 1)T Uscita campionata yd(k) = yc(kT ) Sistema discretizzato Tempo continuo Discretizzato, passo T Forma implicita ̇x(t) = A x(t) + B u(t) y(t) = C x(t) + D u(t) xd(k + 1) = Ad xd(k) + Bd ud(k) yd(k) = Cd xd(k) + Dd ud(k) Matrici A, B, C, D Ad = eAT Bd = Z T 0 eAθ dθ B Cd = C, Dd = D A invertibile Bd = A−1eAT − I B Evoluzione libera xL(t) = eAt x0 xd,L(k) = A k d x0 = eAkT x0 il continuo campionato in kT Autovettori ui, vi udi = ui, vdi = vi se A è diagonalizzabile Autovalore reale λi λdi = eλiT > 0: mai alternante Coppia complessa λi = α + i ω ρ = eαT , θ = ωT se 0 < ωT < π alterna se ωT = (2m + 1)π Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 4

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