Formule essenziali · C2

Formulario

4 pagine. Aggiornato il 10 ottobre 2026.

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Rappresentazioni lineari stazionarie (t0 = 0) Tempo continuo Tempo discreto Forma implicita ̇x(t) = A x(t) + B u(t) y(t) = C x(t) + D u(t) x(0) = x0 x(k + 1) = A x(k) + B u(k) y(k) = C x(k) + D u(k) x(0) = x0 Forma esplicita x(t) = Φ(t) x0 + Z t 0 H(t − τ ) u(τ ) dτ y(t) = Ψ(t) x0 + Z t 0 W (t − τ ) u(τ ) dτ x(k) = Φ(k) x0 + k−1X τ =0 H(k − τ ) u(τ ) y(k) = Ψ(k) x0 + kX τ =0 W (k − τ ) u(τ ) Φ e H Φ(t) = eAt H(t) = eAtB Φ(k) = Ak H(k) = Ak−1B (k ≥ 1) Ψ e W Ψ(t) = C eAt W (t) = C eAtB + D δ(t) Ψ(k) = C Ak W (0) = D W (k) = C Ak−1B (k ≥ 1) Dalla esplicita A = ̇Φ(0), B = H(0), C = Ψ(0) D: coefficiente di δ in W A = Φ(1), B = H(1) C = Ψ(0), D = W (0) Evoluzione e risposte (continuo e discreto) Libera, forzata x = xl + xf , y = yl + yf libera (u = 0): xl = Φ x0, yl = Ψ x0 forzata: x0 = 0 Proprietà di Φ, H Φ(0) = I, Φ(t − t0) = Φ(t − t1) Φ(t1 − t0), H(t − τ ) = Φ(t − t1) H(t1 − τ ) Impulso sull’ingresso i u = ei δ, x0 = 0: xf = H ei, yf = W ei (colonna i) Nuove coordinate z = T x, det T̸ = 0: ̃A = T AT −1, ̃B = T B, ̃C = C T −1, ̃D = D ̃Φ = T ΦT −1, ̃H = T H, ̃Ψ = Ψ T −1, ̃W = W Ingressi canonici e regime (tempo continuo) Ingressi canonici δ−k(t) = tk−1 (k − 1)! δ−1(t) gradino δ−1, rampa δ−2, parabola δ−3 Gradino, n = 1 ̇x = ax + bu, a < 0, u = δ−1: xf (t) = − b a 1 − eat

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Regime libera estinta: gradino → gradino rampa → rampa + gradino sinusoide → sinusoide, stessa pulsazione Strumenti di calcolo Esponenziale eAt = ∞X k=0 Aktk k! , d dt eAt = A eAt = eAtA Matrici a blocchi diag(A1, . . . , Ar )k = diag(Ak 1 , . . . , Ak r ) ediag(A1,...,Ar ) t = diag(eA1t, . . . , eAr t) Derivata d’integrale d dt Z t t0 f (t, τ ) dτ = f (t, t) + Z t t0 ∂f ∂t (t, τ ) dτ Impulso di Dirac Z b a f (τ ) δ(τ − t1) dτ = f (t1) se t1 ∈ [a, b] Dall’equazione al modello Equazione di ordine n y(n) + an−1y(n−1) + · · · + a1 ̇y + a0y = u, x = y, ̇y, . . . , y(n−1)′ A =        0 1 · · · 0 ... . . . ... 0 0 · · · 1 −a0 −a1 · · · −an−1        , B =        0 ... 0 1        , C = 1 0 · · · 0 det(λI − A) = λn + an−1λn−1 + · · · + a1λ + a0 (si legge dall’ultima riga) Carrello M ̈y + b ̇y + Ky = u: λ2 + b M λ + K M b2 > 4M K: reali distinti b2 = 4M K: coincidenti b2 < 4M K: complessi Equilibrio, ̇x = f (x, u) f (xe, ue) = 0; z = x − xe, v = u − ue: ̇z = A z + B v A = ∂f ∂x xe,ue , B = ∂f ∂u xe,ue Radici, grado 2 λ2 + a1λ + a0, a1, a0̸ = 0 reali: radici con Re > 0 = variazioni di segno Autovalori, autovettori e coordinate dei modi Autovettori det(λI − A) = 0, (A − λI) u = 0 (destro), v′(A − λI) = 0′ (sinistro) U = (u1 · · · un), righe di U −1: v′ 1, . . . , v′ n, v′ i ui = 1, v′ i uj = 0 (i̸ = j) Diagonalizzabile μi = ˆμi per ogni λi, ˆμi = n − rank(λiI − A); n autovalori distinti: sì U −1AU = diag(λ1, . . . , λn) Coppia complessa λ = α + j ω (ω > 0), u = ua + j ub: U = (ua ub), righe di U −1: v′ a, v′ b A (ua ub) = (ua ub) α ω −ω α ! , ̃A = U −1AU = α ω −ω α ! Blocchi a vista autovalori di α ω −ω α ! : α ± j ω; triangolare a blocchi: quelli dei blocchi Non diagonalizzabile (A − λI) u2 = u1 (catena), J = λ 1 0 λ ! , eJt = eλt 1 t 0 1 ! Canale 2 · Prof.ssa Claudia Califano 2

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Stato iniziale x0 = μP i=1 ci ui + νP k=1 ckauka + ckbukb , μ + 2ν = n ci = v′ i x0, cka = v′ ka x0, ckb = v′ kb x0 ckb + j cka = mk ejφk : mk = pc2 ka + c2 kb, sin φk = cka mk , cos φk = ckb mk Forma spettrale e modi naturali (A diagonalizzabile) Tempo continuo Tempo discreto Autovalori reali eAt = μX i=1 eλit ui v′ i Ak = μX i=1 λk i ui v′ i Ogni coppia, si somma eαt cos ωt (uav′ a + ubv′ b) + sin ωt (uav′ b − ubv′ a) σk cos kθ (uav′ a + ubv′ b) + sin kθ (uav′ b − ubv′ a) α + j ω = σ ejθ , σ = √α2 + ω2 Blocco della coppia exp ( α ω −ω α )t = eαt cos ωt sin ωt − sin ωt cos ωt ! ( α ω −ω α )k = σk cos kθ sin kθ − sin kθ cos kθ ! Libera xl μX i=1 ci eλit ui + νX k=1 mk eαk t sin(ωkt + φk) uka + cos(ωkt + φk) ukb μX i=1 ci λk i ui + νX h=1 mh σk h sin(kθh + φh) uha + cos(kθh + φh) uhb Tipi di modo aperiodico: λ reale pseudoperiodico: coppia aperiodico: λ > 0 alternante: λ < 0 pseudoperiodico: coppia λ = 0: nullo per k ≥ 1 Andamento Re λ < 0: converge a 0 Re λ > 0: diverge Re λ = 0: limitato coppia con α = 0: periodo 2π/ω |λ| < 1 (σ < 1): converge a 0 |λ| > 1: diverge |λ| = 1: limitato; λ = −1: alterna Parametri dei modi Costante di tempo τ = − 1 λ (λ < 0): eλt = e−t/τ , vale 1/e in t = τ ωn e ξ ωn = √α2 + ω2, ξ = − α ωn ; per |ξ| < 1: α = −ξ ωn, ω = ωn p1 − ξ2 Dal polinomio λ2 + 2ξωnλ + ω2 n; λ2 + a1λ + a0, a0 > 0: ωn = √a0, ξ = a1 2√a0 Valori di ξ |ξ| < 1: complesse (smorzato se ξ > 0, amplificato se ξ < 0) ξ = 0: ±j ωn |ξ| ≥ 1: reali ξ = 1: −ωn doppia ξ = −1: ωn doppia Canale 2 · Prof.ssa Claudia Califano 3

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Eccitabilità e osservabilità (tempo continuo, autovalori semplici) Eccitabile v′ i B̸ = 0′ coppia: v′ aB̸ = 0′ oppure v′ bB̸ = 0′ Osservabile C ui̸ = 0 coppia: C ua̸ = 0 oppure C ub̸ = 0 Modi nelle matrici H(t) = P i eλit ui (v′ iB) + . . . , Ψ(t) = P i eλit (Cui) v′ i + . . . W (t) = P i eλit (Cui)(v′ iB) + D δ(t) + . . . : solo modi eccitabili e osservabili Discretizzazione (ingresso costante a tratti, passo T ) Tempo continuo Discretizzato Segnali u(t) = uD (k), kT ≤ t < (k + 1)T xD (k) = x(kT ), yD (k) = y(kT ) Sistema ̇x = A x + B u y = C x + D u xD (k + 1) = AD xD (k) + BD uD (k) yD (k) = CD xD (k) + DD uD (k) Matrici A, B, C, D AD = eAT , BD = Z T 0 eAξ dξ B CD = C, DD = D A invertibile BD = A−1eAT − IB Eulero, T piccolo AD ≈ I + AT , BD ≈ T B Autovalori λ reale λD = eλT > 0: aperiodico λ = α ± j ω eαT e±jωT : modulo eαT , angolo ωT ωT = π: −eαT doppio (alternanti) ωT = 2π: eαT doppio (aperiodici) Re λ < 0, = 0, > 0 |λD | < 1, = 1, > 1 Canale 2 · Prof.ssa Claudia Califano 4

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