Formule essenziali · C1

Formulario

4 pagine. Aggiornato il 10 ottobre 2026.

Indice

Testo estratto dal PDF compilato: le formule perdono l'impaginazione (apici, pedici, frazioni, matrici) e le figure mancano. Per una formula esatta, apri la pagina nel lettore. Anche in Markdown.

Pagina 1

Modelli di programmazione Assegnamento xij ∈ {0, 1}: 1 se l’ingegnere i va al progetto j min P i,j tij xij P j xij = 1 ∀i, P i xij = 1 ∀j Zaino xi ∈ {0, 1}: 1 se si ingaggia il relatore i max P i ci xi P i ai xi ≤ b Trasporto xij ≥ 0: quantità spedita da i a j min P i,j cij xij P j xij ≤ ai (capacità) P i xij = dj (domanda) xij ∈ Z se il bene è indivisibile Calendario xijk ∈ {0, 1}: 1 se i ospita j alla giornata k P j̸ =i xijk + xjik = 1 ∀i, k P k xijk + xjik = 1 ∀i < j P j̸ =i xijk = 0: i non ospita alla giornata k Vettori, norme e distanze in Rn Ordine x ≤ y ⇐⇒ xi ≤ yi, i = 1, . . . , n Prodotti scalare: xTy = Pn i=1 xi yi Hadamard: (x ◦ y)i = xi yi diadico: (x yT)ij = xi yj Norme ∥x∥2 = pPn i=1 x2 i , xTx = ∥x∥2 2 ∥x∥1 = Pn i=1|xi| ∥x∥∞ = maxi|xi| ∥x∥0: numero di xi̸ = 0, non è una norma Proprietà norma ∥x∥ ≥ 0, ∥x∥ = 0 ⇐⇒ x = 0 ∥αx∥ = |α| ∥x∥ ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥ Intorno sferico Bρ(x0) = {x ∈ Rn : ∥x − x0∥ < ρ} B1(0) in R2: ∥·∥1 rombo, ∥·∥2 cerchio, ∥·∥∞ quadrato Cauchy–Schwarz |xTy| ≤ ∥x∥2 ∥y∥2, uguale ⇐⇒ x, y paralleli Angolo cos θ = xTy ∥x∥2 ∥y∥2 , θ ∈ [0, π], x, y̸ = 0 ortogonali: xTy = 0 Punti e insiemi di Rn Punto interno ∃ ρ > 0 : Bρ( ̄x) ⊆ E; interno ̊E Punto esterno ∃ ρ > 0 : Bρ( ̄x) ⊆ co(E) Punto di frontiera Bρ( ̄x) ∩ E̸ = ∅ e Bρ( ̄x) ∩ co(E)̸ = ∅ ∀ρ > 0; frontiera ∂E Accumulazione Bρ( ̄x) ∩ E \ { ̄x}̸ = ∅, ∀ρ > 0 derivato D(E) = ̊E ∪ ∂E \ {isolati} Punto isolato ̄x ∈ E, Bρ( ̄x) ∩ E = { ̄x} per un ρ > 0

Pagina 2

Aperto e chiuso E aperto ⇐⇒ E = ̊E ∅ e Rn: sia aperti sia chiusi E chiuso ⇐⇒ co(E) aperto ⇐⇒ ∂E ⊆ E ⇐⇒ D(E) ⊆ E ⇐⇒ E = E Chiusura E = E ∪ ∂E = E ∪ D(E) Unioni, intersezioni Ai aperti: S i∈I Ai e Tk i=1 Ai aperti Ci chiusi: T i∈I Ci e Sk i=1 Ci chiusi Vincoli, compatti e Weierstrass Vincoli continui gi, hj continue: {x : gi(x) < 0 ∀i} è aperto {x : gi(x) ≤ 0 ∀i, hj (x) = 0 ∀j} è chiuso Limitato, compatto E limitato: ∃M > 0 : ∥x∥ ≤ M ∀x ∈ E E compatto ⇐⇒ chiuso e limitato Funzione limitata ∃M > 0 : ∥f (x)∥ ≤ M ∀x ∈ D f scalare: f (x) ≥ m (inferiormente), f (x) ≤ M (superiormente) Weierstrass E̸ = ∅ compatto, f continua su E: ∃ xmin, xmax ∈ E : f (xmin) ≤ f (x) ≤ f (xmax) ∀x ∈ E Limiti di funzioni Limite finito ∀ε > 0 ∃δ > 0 (x0 di accumulazione per D): x ∈ D, 0 < ∥x − x0∥ < δ ⇒ |f (x) − L| < ε Limite ±∞ ∀M ∃δ > 0: 0 < ∥x − x0∥ < δ ⇒ f (x) > M (f (x) < M per −∞) Valori vettoriali 0 < ∥x − x0∥ < δ ⇒ ∥f (x) − L∥ < ε limite ∞: 0 < ∥x − x0∥ < δ ⇒ ∥f (x)∥ > M Per x → ∞ in Rn: ∥x∥ > A al posto di 0 < ∥x − x0∥ < δ in R: x > A (+∞), x < A (−∞) Punto ∞ Rn ∗ = Rn ∪ {∞} ∞ di accumulazione per E ⇐⇒ E illimitato Teorema ponte lim x→x0 f (x) = L ⇐⇒ lim k→∞ f (xk) = L per ogni {xk} ⊆ D \ {x0} con xk → x0 Non esistenza ak, bk ∈ D \ {x0}, ak, bk → x0 f (ak) → L1, f (bk) → L2, L1̸ = L2: il limite non esiste Limite e restrizioni lim x→x0 f (x) = L ⇐⇒ lim x→x0 f |A(x) = L ∀A ⊆ D con x0 ∈ D(A) due restrizioni con limiti diversi: il limite non esiste Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 2

Pagina 3

Continuità Continuità in x0 x0 ∈ D isolato, oppure x0 di accumulazione e lim x→x0 f (x) = f (x0) Lipschitz continua |f (x) − f (y)| ≤ L ∥x − y∥ ∀x, y ∈ D, L > 0 costante raggio uniforme: δε = ε/L Continuità uniforme ∀ε > 0 ∃δε > 0: |f (x) − f (y)| < ε ∀x, y ∈ D con ∥x − y∥ < δε Classi di funzioni CL(D) ⊆ CU (D) ⊆ C0(D) Heine–Cantor D compatto, f ∈ C0(D) ⇒ f ∈ CU (D) Successioni Sottosuccessione yi = xki , k1 < k2 < k3 < · · · Limite lim k→∞ xk = ̄x: k ≥ kε ⇒ ∥xk − ̄x∥ < ε lim k→∞ xk = ∞: k ≥ kM ⇒ ∥xk∥ > M Carattere convergente: xk → ̄x ∈ Rn divergente: xk → ∞ irregolare: né convergente né divergente Punto limite lim k∈K k→∞ xk = ˆx xk → ̄x ⇒ ̄x unico punto limite due punti limite distinti ⇒ {xk} non converge Monotona in R crescente: lim k→∞ xk = sup k xk decrescente: lim k→∞ xk = inf k xk limite in R∗: finito se {xk} limitata, altrimenti ±∞ Per componenti norma euclidea: xk → ̄x ⇐⇒ (xk)i → ̄xi, i = 1, . . . , n {xk} limitata ⇐⇒ ogni {(xk)i} limitata Bolzano–Weierstrass {xk} limitata: ∃K, ̄x con lim k∈K k→∞ xk = ̄x xk ∈ E compatto ⇒ ̄x ∈ E E limitato con infiniti punti: D(E)̸ = ∅ Funzioni lineari e quadratiche Funzione lineare F (αx + βy) = αF (x) + βF (y) ⇐⇒ F (x) = A x, A ∈ Rm×n colonne di A: F (e1), . . . , F (en) m = 1: f (x) = cTx = c1x1 + · · · + cnxn Funzione affine f (x) = cTx + b, lineare solo se b = 0 Forma quadratica q(x) = nX i=1 nX j=1 aij xixj = xTA x Funzione quadratica f (x) = xTA x + cTx + b Matrice simmetrica S = 1 2 A + AT simmetrica, xTA x = xTS x Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 3

Pagina 4

Metodi di Newton e del gradiente Metodo di Newton xk+1 = xk − f (xk) f ′(xk) se f ′(xk)̸ = 0 Convergenza locale f ′ continua vicino a ̄x, f ( ̄x) = 0, f ′( ̄x)̸ = 0: ∃ ε > 0 : |x0 − ̄x| < ε ⇒ xk → ̄x Metodo del gradiente xk+1 = xk − αk f ′(xk), αk > 0 con f (xk+1) < f (xk), finché f ′(xk)̸ = 0 Dimezzamento α = 1, 1 2 , 1 4 , . . . fino a f xk − α f ′(xk) < f (xk) Passo costante |f ′(x) − f ′(y)| ≤ L|x − y| ∀x, y: αk = α, 0 < α < 2/L Perceptron Uscita y = F (x; v, θ) = GvTx − θ = G Pn i=1 vixi − θ Gradino G(t) =    1 t ≥ 0 0 t < 0 Frontiera, n = 2 v1x1 + v2x2 = θ Training set T = {(x(p), y(p))}P p=1, y(p) ∈ {0, 1} Logistica σ(t) = 1 1 + e−t al posto di G: F = σ(vTx − θ) Errore da minimizzare min v,θ PX p=1 F (x(p); v, θ) − y(p)2 Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 4

Entrambi

FormularioC1

Apertura del capitolo