Capitolo 11 · C1

Derivate di funzioni di più variabili

Derivata e differenziabilità in R, Rette e semirette, Derivata direzionale, Derivate parziali e gradiente, Derivate parziali e continuità

12 pagine (10 numerate). Aggiornato il 13 ottobre 2026.

Scarica PDF316 KB

Indice

Testo estratto dal PDF compilato: le formule perdono l'impaginazione (apici, pedici, frazioni, matrici) e le figure mancano. Per una formula esatta, apri la pagina nel lettore. Anche in Markdown.

Pagina 1

1 Derivata e differenziabilità in R Definizione – Derivata prima Siano f : R → R e x0 ∈ R. f è derivabile in x0 se esiste finito il limite del rapporto incrementale, la derivata prima di f in x0: f ′(x0) = lim x→x0 f (x) − f (x0) x − x0 = lim h→0 f (x0 + h) − f (x0) h . La seconda forma viene dalla prima con x = x0 + h. Il limite si può studiare: il rapporto è definito per x̸ = x0, e x0 è di accumulazione per R \ {x0} (Capitolo 3). Definizione – o piccolo Siano f e g due funzioni che tendono a 0 per x → x0. Si dice che f è un o piccolo di g per x → x0, e si scrive f = o(g), se lim x→x0 f (x) g(x) = 0. Entrambe tendono a 0, ma f più rapidamente di g. Definizione – Funzione differenziabile in una variabile f : R → R è differenziabile in x0 se esiste una costante a ∈ R tale che f (x) = f (x0) + a (x − x0) + o(x − x0) per x → x0. La funzione ˆf (x) = f (x0) + a (x − x0) è affine in x (Capitolo 6) e lineare nell’incremento x − x0. L’errore f (x) − ˆf (x) è o(x − x0): vicino a x0 l’approssimazione è buona quanto si vuole, e f si può sostituire con ˆf . Per questo una funzione differenziabile si dice anche linearizzabile in x0. Sostituire f con una funzione affine è il primo passo di molti algoritmi, come il metodo di Newton (Capitolo 7). Proposizione – Derivabile e differenziabile f : R → R è derivabile in x0 se e solo se è differenziabile in x0. In tal caso a = f ′(x0) e ˆf è l’approssimazione lineare del Capitolo 7. Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 1

Pagina 2

Dimostrazione Con h = x − x0, la differenziabilità con costante a equivale a lim h→0 f (x0 + h) − f (x0) − ah h = 0. 1. (⇒) Con a = f ′(x0) il rapporto è f (x0 + h) − f (x0) h − f ′(x0), che tende a f ′(x0) − f ′(x0) = 0. 2. (⇐) Il rapporto incrementale è f (x0 + h) − f (x0) h = a + o(h) h , che tende ad a: f è derivabile e f ′(x0) = a. □ Proposizione – Derivabile implica continua Se f : R → R è derivabile in x0, allora è continua in x0. Dimostrazione 1. f è differenziabile, quindi f (x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0) + o(x − x0). 2. Per x → x0 sia f ′(x0)(x − x0) sia o(x − x0) tendono a 0, quindi limx→x0 f (x) = f (x0). □ La derivabilità è sufficiente per la continuità, ma non necessaria: |x| è continua in 0 e non è derivabile, perché il rapporto incrementale vale 1 per h > 0 e −1 per h < 0. 2 Rette e semirette in Rn Definizione – Retta e semiretta Siano ̄x ∈ Rn e d ∈ Rn, d̸ = 0. • La retta per ̄x parallela a d è {x ∈ Rn : x − ̄x = t d, t ∈ R}. • Con t ≥ 0 si ottiene la semiretta che parte da ̄x nel verso di d; con t ≤ 0 quella nel verso opposto. I punti della retta sono x = ̄x + t d: il vettore x − ̄x è parallelo a d. Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 2

Pagina 3

d ̄x ̄x + t d, t > 0 t ≥ 0 t ≤ 0 La retta per ̄x parallela a d: la semiretta continua è quella nel verso di d, quella tratteggiata nel verso opposto. 3 Derivata direzionale Definizione – Derivata direzionale Siano f : Rn → R, x ∈ Rn e d ∈ Rn. f ha derivata direzionale in x lungo la direzione d se esiste finito il limite Df (x, d) = lim t→0+ f (x + t d) − f (x) t . Il rapporto confronta la variazione di f con lo spostamento t lungo la semiretta che parte da x nel verso di d. Per questo t tende a 0 solo da destra. Il limite può non esistere. 4 Derivate parziali e gradiente Definizione – Derivata parziale Siano f : Rn → R e x ∈ Rn. f ha derivata parziale rispetto alla variabile xj nel punto x se esiste finito il limite ∂f ∂xj (x) = lim t→0 f (x1, . . . , xj + t, . . . , xn) − f (x1, . . . , xj , . . . , xn) t . Varia solo xj , le altre variabili restano fisse. È la derivata prima di f come funzione della sola xj , quindi dipende anche dai valori delle variabili fissate. Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 3

Pagina 4

Definizione – Gradiente Se in x esistono le derivate parziali di f rispetto a tutte le variabili, il gradiente di f in x è il vettore colonna ∇f (x) =        ∂f ∂x1 (x) ... ∂f ∂xn (x)        ∈ Rn. Il gradiente ha tante componenti quante sono le variabili di f . Ogni componente si calcola con le regole della derivata prima, trattando come costanti le altre variabili. Esempio – Gradiente di una funzione di tre variabili Sia f (x) = x3 1 − 3x1x2 + x1x2x3, con x ∈ R3. 1. Rispetto a x1, con x2 e x3 costanti: ∂f ∂x1 (x) = 3x2 1 − 3x2 + x2x3. 2. Rispetto a x2: ∂f ∂x2 (x) = −3x1 + x1x3. 3. Rispetto a x3: x3 compare solo in x1x2x3, con coefficiente x1x2, quindi ∂f ∂x3 (x) = x1x2. Nel punto ̄x = (1, 2, −1) si sostituiscono le coordinate: ∇f ( ̄x) =    3 − 6 − 2 −3 − 1 2    =    −5 −4 2    . Altri due calcoli sono negli Esercizi 1 e 2. 5 Derivate parziali e derivate direzionali Sia ej ∈ Rn il versore del j-esimo asse coordinato, con 1 in posizione j e 0 altrove. Il punto della derivata parziale è x + t ej : x + t ej =         x1 ... xj ... xn         + t         0 ... 1 ... 0         =         x1 ... xj + t ... xn         , ∂f ∂xj (x) = lim t→0 f (x + t ej ) − f (x) t . Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 4

Pagina 5

La derivata parziale è un limite per t → 0 da entrambi i lati, la derivata direzionale solo da destra. Servono quindi due direzioni, ej e −ej . Proposizione – Derivata parziale e derivate direzionali Siano f : Rn → R e x ∈ Rn. Esiste ∂f ∂xj (x) se e solo se (i) esiste la derivata direzionale Df (x, ej ); (ii) esiste la derivata direzionale Df (x, −ej ); (iii) risulta Df (x, ej ) = −Df (x, −ej ) In tal caso ∂f ∂xj (x) = Df (x, ej ). Dimostrazione La derivata parziale esiste se e solo se i limiti destro e sinistro del rapporto f (x + t ej ) − f (x) t esistono finiti e sono uguali. 1. Limite destro. Per definizione è Df (x, ej ). 2. Limite sinistro. Con t = −h, t → 0− equivale a h → 0+ e lim t→0− f (x + t ej ) − f (x) t = lim h→0+ f (x + h(−ej )) − f (x) −h = −Df (x, −ej ), e il primo limite esiste finito se e solo se esiste Df (x, −ej ). 3. (⇒) Se la derivata parziale esiste, i due limiti esistono e sono uguali: valgono (i)-(iii) e ∂f ∂xj (x) = Df (x, ej ). 4. (⇐) Se valgono (i)-(iii), per i passi 1 e 2 i limiti destro e sinistro esistono e valgono Df (x, ej ) = −Df (x, −ej ): la derivata parziale esiste. □ 6 Derivate parziali e continuità In una variabile la derivabilità in x0 implica la continuità in x0 (Sezione 1). In R2 l’analogo atteso sarebbe: se in (x0, y0) esistono le due derivate parziali, f è continua in (x0, y0). È falso. Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 5

Pagina 6

Esempio – Derivate parziali senza continuità Sia f : R2 → R, f (x, y) = (0 se xy = 0, 1 altrimenti. 1. Non è continua in (0, 0). Sull’insieme A = {(x, y) ∈ R2 : x̸ = 0, y̸ = 0}, che ha (0, 0) come punto di accumulazione, f vale 1, quindi lim(x,y)→(0,0) f |A(x, y) = 1. Ma f (0, 0) = 0: per il teorema delle restrizioni (Capitolo 9) f non tende a f (0, 0). 2. Le derivate parziali esistono. Sugli assi f vale 0, quindi ∂f ∂x (0, 0) = lim t→0 f (t, 0) − f (0, 0) t = lim t→0 0 − 0 t = 0, ∂f ∂y (0, 0) = lim t→0 f (0, t) − f (0, 0) t = lim t→0 0 − 0 t = 0. x y f = 1 f = 1 f = 0 f = 0 f vale 0 sugli assi (in rosso) e 1 altrove. Le derivate parziali in (0, 0) guardano solo gli assi; la continuità guarda tutti i punti vicini. Le derivate parziali dicono come varia f lungo gli assi coordinati, e nulla sugli altri punti vicini a (0, 0). Quindi in Rn l’esistenza del gradiente non garantisce la continuità, e non può dare da sola un’approssimazione affine di f come la differenziabilità in una variabile. Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 6

Pagina 7

Riepilogo • Derivata prima: f ′(x0) = limh→0 f (x0+h)−f (x0) h , finito. • Differenziabile in R: f (x) = f (x0) + a(x − x0) + o(x − x0); equivale a derivabile, con a = f ′(x0), e implica la continuità. • Retta e semiretta: x = ̄x + t d con t ∈ R, oppure t ≥ 0. • Derivata direzionale: Df (x, d) = limt→0+ f (x+td)−f (x) t . • Derivata parziale: limite per t → 0 di f (x+tej )−f (x) t ; si calcola con le altre variabili costanti. • Gradiente: ∇f (x) ∈ Rn, colonna delle derivate parziali. • Parziale e direzionali: ∂f ∂xj (x) esiste se e solo se esistono Df (x, ±ej ) e Df (x, ej ) = −Df (x, −ej ). • Continuità: in Rn le derivate parziali possono esistere in un punto in cui f non è continua. 7 Esercizi Esercizio 1 – Gradiente di un esponenziale Calcolare il gradiente di f (x1, x2) = ex1−x2 nel punto ̄x = (1, 2). Soluzione a pagina 9 → Esercizio 2 – Una funzione con gradiente assegnato Sia ̄x ∈ R6 un punto qualsiasi. Definire una funzione f : R6 → R tale che ∇f ( ̄x) =          1 −1 2 3 1 6          . Soluzione a pagina 9 → Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 7

Pagina 8

Esercizio 3 – Primo esonero 2023-24, Canale M-Z, Prof. Giampaolo Liuzzi, esercizio 3 dei compiti A-D, adattato Siano ̃a ̃b le ultime due cifre del proprio numero di matricola, e a = max{1, ̃a}, b = max{1, ̃b}. Sia Q ∈ R2×2 la matrice Q = a q q b ! , con q = 2 nel compito A, q = 1 nel B, q = 3 nel C, q = 5 nel D. Usando Q definire una funzione quadratica (determinandone il vettore c) f (x, y) = 1 2 x y Q x y ! + cT x y ! tale che il gradiente nell’origine ∇f (0, 0) sia pari al vettore (a, b). Soluzione a pagina 9 → Esercizio 4 – Appello del 20/01/2026, Canale M-Z, Prof. Giampaolo Liuzzi, esercizio 3, adattato Si consideri la seguente funzione di due variabili reali: f (x, y) = (x − 1)2 + y2 − 1 (x − 2). Calcolare il vettore gradiente di f . Soluzione a pagina 10 → Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 8

Pagina 9

8 Soluzioni Soluzione dell’Esercizio 1 – Gradiente di un esponenziale f ha due variabili, quindi ∇f (x) ∈ R2. Con x2 costante la derivata dell’esponenziale dà ex1−x2 per la derivata dell’argomento, che è 1; con x1 costante la derivata dell’argomento è −1: ∇f (x) = ex1−x2 −ex1−x2 ! , ∇f ( ̄x) = e−1 −e−1 ! . ← Torna all’Esercizio 1, pagina 7 Soluzione dell’Esercizio 2 – Una funzione con gradiente assegnato Conviene una funzione il cui gradiente non dipenda dal punto: una funzione lineare f (x) = cTx (Capitolo 6) con c uguale al gradiente richiesto, f (x) = x1 − x2 + 2x3 + 3x4 + x5 + 6x6. La derivata rispetto a xj è il coefficiente di xj , perché le altre variabili sono costanti. Quindi ∇f (x) = (1, −1, 2, 3, 1, 6)T per ogni x, e in particolare in ̄x. ← Torna all’Esercizio 2, pagina 7 Soluzione dell’Esercizio 3 – Primo esonero 2023-24, Canale M-Z, Prof. Giampaolo Liuzzi, esercizio 3 dei compiti A-D, adattato 1. La funzione. Con c = (c1, c2)T, svolgendo i prodotti, f (x, y) = 1 2 ax2 + 2q xy + by2 + c1x + c2y. 2. Le derivate parziali, con l’altra variabile costante: ∂f ∂x (x, y) = ax + qy + c1, ∂f ∂y (x, y) = qx + by + c2. 3. Nell’origine ∇f (0, 0) = (c1, c2)T. Deve valere (a, b), quindi c = a b ! . Il risultato non dipende da q: nell’origine la parte quadratica ha derivate parziali nulle. ← Torna all’Esercizio 3, pagina 8 Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 9

Pagina 10

Soluzione dell’Esercizio 4 – Appello del 20/01/2026, Canale M-Z, Prof. Giampaolo Liuzzi, esercizio 3, adattato f è il prodotto di g(x, y) = (x − 1)2 + y2 − 1 e di x − 2. 1. Rispetto a x, con y costante e la regola del prodotto: ∂f ∂x (x, y) = 2(x − 1)(x − 2) + (x − 1)2 + y2 − 1. 2. Rispetto a y: x − 2 è una costante, e g ha derivata 2y: ∂f ∂y (x, y) = 2y (x − 2). Quindi ∇f (x, y) = (x − 1)2 + y2 − 1 + 2(x − 1)(x − 2) 2y (x − 2) ! . Ad esempio ∇f (0, 0) = (1 − 1 + 4, 0)T = (4, 0)T. ← Torna all’Esercizio 4, pagina 8 Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 10

Entrambi

11 Derivate di funzioni di più variabiliC1

Apertura del capitolo