Capitolo 8 · C2

Derivate direzionali e parziali

Derivata direzionale, Derivate parziali e gradiente, Matrice Jacobiana, Differenziabilità in R, Derivate senza continuità

14 pagine (12 numerate). Aggiornato il 13 ottobre 2026.

Scarica PDF349 KB

Indice

Testo estratto dal PDF compilato: le formule perdono l'impaginazione (apici, pedici, frazioni, matrici) e le figure mancano. Per una formula esatta, apri la pagina nel lettore. Anche in Markdown.

Pagina 1

1 Restrizione a una semiretta Dati un punto x ∈ Rn e una direzione d ∈ Rn, d̸ = 0, i punti x + td, t ≥ 0, formano la semiretta che parte da x con direzione d (Figura 1); per t ∈ R si ottiene tutta la retta. Restringendo f : Rn → R alla semiretta si ottiene una funzione della sola variabile t: φ(t) = f (x + td), φ(0) = f (x). Per scriverla basta sostituire nell’espressione di f le coordinate di x+td. Così una funzione di n variabili si studia con gli strumenti delle funzioni di una variabile. x1 x2 d x x + td t ≥ 0 Figura 1: La semiretta {x + td : t ≥ 0} (in blu) parte da x nella direzione di d (in rosso); il tratto tratteggiato, con t < 0, completa la retta. Esempio – La funzione a sei gobbe Sia f (x, y) = 4 − 2.1 x2 + 1 3x4 x2 + xy + (−4 + 4y2) y2, un polinomio, quindi continuo su R2. Tre restrizioni: 1. asse x, y = 0: f (x, 0) = 4x2 − 2.1 x4 + 1 3 x6, funzione di x; 2. retta x = −1: f (−1, y) = 67 30 − y − 4y2 + 4y4, funzione di y; 3. retta per (−1, 0) con direzione (2, 1), cioè x = −1 + 2t, y = t: φ(t) = 4 − 2.1(−1 + 2t)2 + 1 3 (−1 + 2t)4 (−1 + 2t)2 + (−1 + 2t) t + (−4 + 4t2) t2, un polinomio di sesto grado in t, con termine di grado massimo 64 3 t6. Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 1

Pagina 2

2 Derivata direzionale Definizione – Derivata direzionale f : Rn → R ammette derivata direzionale in x ∈ Rn lungo d ∈ Rn se esiste finito il limite Df (x, d) = lim t→0+ f (x + td) − f (x) t . Il limite è quello del rapporto incrementale della restrizione φ(t) = f (x + td), ma solo da destra: si guarda la semiretta, con t > 0. Un limite uguale a +∞ o a −∞ non dà una derivata direzionale. Esempio – Lungo una semiretta del piano Siano f (x1, x2) = x2 1 + x2 2, x = (1, 1) e d = (−2, −2). Allora x + td = (1 − 2t, 1 − 2t) e la restrizione è quadratica in t: φ(t) = (1 − 2t)2 + (1 − 2t)2 = 2 − 8t + 8t2. Con φ(0) = f (x) = 2, Df (x, d) = lim t→0+ −8t + 8t2 t = lim t→0+(−8 + 8t) = −8. 3 Derivate parziali e gradiente Definizione – Derivata parziale f : Rn → R ammette derivata parziale in x ∈ Rn rispetto alla variabile xi se esiste finito il limite ∂f (x) ∂xi = lim h→0 f (x1, . . . , xi + h, . . . , xn) − f (x1, . . . , xi, . . . , xn) h . Solo la coordinata xi si muove, di h; le altre restano ferme. Il limite è per h → 0 da entrambi i lati, non solo da destra come nella derivata direzionale. Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 2

Pagina 3

Esempio – Derivata parziale rispetto a x3 Sia f (x1, x2, x3) = x2 1 + 3x1x3 + x2x2 3. Fissato x, si sostituisce x3 + h a x3: con x1, x2, x3 costanti, la restrizione è una funzione quadratica di h, φ(h) = x2 1 + 3x1x3 + x2x2 3 + (3x1 + 2x2x3) h + x2h2. Quindi φ(h) − φ(0) h = 3x1 + 2x2x3 + x2h −−→ h→0 ∂f (x) ∂x3 = 3x1 + 2x2x3. Il risultato non è un numero ma una funzione di x. Nel punto (1, 0, 1) vale 3. L’esempio mostra la regola pratica: la derivata parziale rispetto a xi è la derivata di f come funzione della sola xi, trattando le altre variabili come costanti. Valgono quindi le regole di derivazione di una variabile. L’Esercizio 1 completa l’esempio con le altre due derivate parziali. Definizione – Funzione derivabile e gradiente f : Rn → R è derivabile in x se ammette in x le derivate parziali rispetto a tutte le variabili. Il vettore colonna delle derivate parziali è il gradiente di f in x: ∇f (x) =       ∂f (x) ∂x1 ... ∂f (x) ∂xn       . Il simbolo ∇ si legge «nabla». Basta che manchi una sola derivata parziale perché f non sia derivabile in x. Esempio – Gradiente di ex2+y2 Sia f (x, y) = ex2+y2 . Con y costante, la derivata rispetto a x è quella di una funzione composta, e simmetricamente per y: ∇f (x, y) = 2x ex2+y2 2y ex2+y2 ! = 2ex2+y2 x y ! . Nel punto (−2, 1) l’esponente vale 5, e il prodotto scalare con il vettore (1, 1) è la somma delle componenti: ∇f (−2, 1) = −4e5 2e5 ! , ⟨∇f (−2, 1), 1 1 ! ⟩ = −4e5 + 2e5 = −2e5. Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 3

Pagina 4

4 Derivate parziali e derivate direzionali Sia ei ∈ Rn il vettore con 1 nella componente i e 0 nelle altre, l’i-esimo vettore della base canonica. Allora x + hei = (x1, . . . , xi + h, . . . , xn), che è il punto del rapporto incrementale della derivata parziale rispetto a xi. Le due derivate sono quindi legate. Proposizione – Parziali e direzionali lungo gli assi Siano f : Rn → R e x ∈ Rn. f ammette derivata parziale rispetto a xi in x se e solo se 1. esistono Df (x, ei) e Df (x, −ei), e 2. Df (x, ei) = −Df (x, −ei). In tal caso ∂f (x) ∂xi = Df (x, ei). Dimostrazione Il rapporto incrementale della parziale è R(h) = f (x + hei) − f (x) h . Il limite per h → 0 esiste se e solo se esistono uguali i limiti destro e sinistro. 1. Da destra: limh→0+ R(h) = Df (x, ei), per definizione. 2. Da sinistra, con h = −t e t → 0+: lim h→0− R(h) = lim t→0+ f (x + t(−ei)) − f (x) −t = −Df (x, −ei). 3. I due limiti esistono finiti e coincidono se e solo se valgono le condizioni 1 e 2; il valore comune è Df (x, ei). □ I due concetti sono collegati ma diversi: le derivate parziali dicono come varia f lungo gli assi, non lungo le altre direzioni. 5 Matrice Jacobiana Sia g : Rn → Rm un vettore di m funzioni di n variabili, g(x) = g1(x), . . . , gm(x)T. Se ogni gi è derivabile in x, le derivate parziali sono m · n: n per ciascuna delle m funzioni. Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 4

Pagina 5

Definizione – Matrice Jacobiana La matrice Jacobiana di g in x è la matrice m × n Jg(x) =        ∂g1(x) ∂x1 · · · ∂g1(x) ∂xn ... ... ∂gm(x) ∂x1 · · · ∂gm(x) ∂xn        =    ∇g1(x)T ... ∇gm(x)T    . Le dimensioni contano: una riga per funzione, una colonna per variabile. La riga i è il gradiente di gi scritto in riga. La matrice ∇g(x), che ha per colonne i gradienti ∇g1(x), . . . , ∇gm(x), è n × m, e Jg(x) = ∇g(x)T. Gli Esercizi 3 e 4 calcolano due Jacobiane 2 × 3. 6 Derivabilità e differenziabilità in R Le derivate in più variabili si confrontano con quelle di una variabile. Definizione – Funzione derivabile in R f : R → R è derivabile in x0 se esiste finito il limite f ′(x0) = lim h→0 f (x0 + h) − f (x0) h , la derivata di f in x0. Definizione – Funzione differenziabile in R f : R → R è differenziabile in x0 se esiste una costante a ∈ R tale che, per x → x0, f (x) = f (x0) + a(x − x0) + o(x − x0). Il simbolo o(x − x0), «o piccolo», indica una quantità che tende a 0 più rapidamente di x − x0: lim x→x0 o(x − x0) x − x0 = 0. Vicino a x0, quindi, f si approssima con la funzione affine f (x0) + a(x − x0), con un errore trascurabile rispetto a x − x0. Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 5

Pagina 6

Teorema – Equivalenza in R f : R → R è derivabile in x0 se e solo se è differenziabile in x0. In tal caso a = f ′(x0). Dimostrazione Con x = x0 + h: 1. se f è derivabile, posto a = f ′(x0), il resto f (x0 + h) − f (x0) − ah diviso per h è f (x0+h)−f (x0) h − f ′(x0) → 0: è un o(h); 2. se f è differenziabile, f (x0+h)−f (x0) h = a + o(h) h → a: f è derivabile e f ′(x0) = a. □ Per questo in una variabile si parla di solito solo di derivabilità. Il significato geometrico della costante a = f ′(x0) è il coefficiente angolare della retta tangente. Definizione – Retta tangente e vettore normale Se f : R → R è derivabile in x0, la retta tangente al grafico di f nel punto (x0, f (x0)) è y = f (x0) + f ′(x0)(x − x0), e il vettore −f ′(x0), 1 è il vettore normale alla retta tangente, e al grafico di f in quel punto. La retta ha direzione 1, f ′(x0), e il prodotto scalare con −f ′(x0), 1 è −f ′(x0)+f ′(x0) = 0: i due vettori sono ortogonali. Se f : R → R è derivabile in x0, allora: 1. f è continua in x0: nella differenziabilità, a(x − x0) + o(x − x0) → 0, quindi f (x) → f (x0); 2. f si approssima vicino a x0 con una funzione affine; 3. il grafico ha la retta tangente in (x0, f (x0)): non ha salti, perché f è continua, né spigoli, dove la tangente non esisterebbe. La Sezione 7 mostra che in Rn le derivate parziali e direzionali non garantiscono queste proprietà. 7 Derivate senza continuità In Rn l’esistenza di tutte le derivate parziali, e anche di tutte le derivate direzionali, non basta per la continuità. Lo mostrano due funzioni che valgono solo 0 e 1 (Figura 2). Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 6

Pagina 7

Esempio – Funzione nulla sugli assi Sia f (x, y) = (1 se xy̸ = 0, 0 se xy = 0, che vale 0 sugli assi coordinati e 1 fuori. 1. Non è continua nell’origine. f (0, 0) = 0, ma sulla bisettrice {(x, x) : x̸ = 0}, di cui l’origine è di accumulazione, f vale 1. 2. È derivabile nell’origine. Sugli assi f = 0, quindi i numeratori dei rapporti incrementali sono nulli, non solo tendenti a 0: ∂f (0, 0) ∂x = lim h→0 f (h, 0) − f (0, 0) h = lim h→0 0 h = 0, e allo stesso modo ∂f (0, 0)/∂y = 0. 3. Lungo gli assi esistono le derivate direzionali, nulle: per la proposizione della Sezione 4, oppure perché f (td) = 0 per d su un asse. 4. Lungo le altre direzioni no. Se d = (dx, dy) con dx̸ = 0 e dy̸ = 0, per t > 0 il punto (tdx, tdy) non sta sugli assi e f vale 1: lim t→0+ f (tdx, tdy) − f (0, 0) t = lim t→0+ 1 t = +∞. x y f = 1 f = 0 d f = 1 se xy̸ = 0 x y y = x2y = 2x2 t1d f = 1 se x2 < y < 2x2 Figura 2: A sinistra, la prima funzione vale 1 nella zona azzurra e 0 sugli assi (in rosso): lungo d vale 1 appena t > 0. A destra, la seconda vale 1 solo nella zona azzurra fra le parabole tratteggiate; la semiretta arancione esce dall’origine sopra la parabola y = 2x2, dove f = 0, ed entra nella zona azzurra solo dopo t1d. In una variabile una funzione derivabile è continua; qui no. Le derivate direzionali, almeno, si accorgono della discontinuità. Non sempre. Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 7

Pagina 8

Esempio – Funzione fra due parabole Sia f (x, y) = (1 se x2 < y < 2x2, 0 altrimenti, che vale 1 solo strettamente fra le parabole y = x2 e y = 2x2; sulle parabole, e quindi nell’origine, vale 0. 1. Non è continua nell’origine. Sulla parabola {(x, 3 2 x2) : x̸ = 0}, compresa fra le due, f vale 1̸ = f (0, 0). 2. È derivabile nell’origine. Sugli assi f = 0, e come nell’esempio precedente le due derivate parziali sono nulle. 3. Ammette derivata direzionale nulla lungo ogni direzione d = (dx, dy)̸ = 0. Basta che f (tdx, tdy) = 0 per t > 0 piccolo: • se dy ≤ 0, il punto ha y ≤ 0 e non sta fra le parabole, che hanno y > 0; • se dx = 0 e dy > 0, il punto sta sull’asse y, dove 2x2 = 0 < y; • se dx̸ = 0 e dy > 0, il punto sta fra le parabole solo se tdy < 2t2d2 x, cioè t > dy/(2d2 x). Per 0 < t ≤ dy/(2d2 x) si ha quindi f (td) = 0, e il rapporto incrementale è nullo: Df (0, d) = 0. Nell’origine f = 1 se xy̸ = 0 f = 1 se x2 < y < 2x2 continua no no derivate parziali nulle nulle derivate direzionali solo lungo gli assi in ogni direzione, nulle I rapporti incrementali guardano f solo lungo rette per il punto. In R bastano a dire se f è continua; in Rn no, perché ci si può avvicinare al punto anche lungo curve, come le parabole del secondo esempio. Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 8

Pagina 9

Riepilogo • Restrizione a una semiretta: φ(t) = f (x + td), t ≥ 0, funzione di una variabile. • Derivata direzionale: Df (x, d) = limt→0+ f (x + td) − f (x)/t, se esiste finito. • Derivata parziale: ∂f (x)/∂xi, limite per h → 0 incrementando solo xi; si deriva in xi con le altre variabili costanti. • Gradiente: f derivabile se esistono tutte le parziali; ∇f (x) è il loro vettore colonna. • Parziali e direzionali: ∂f /∂xi esiste ⇐⇒ Df (x, ei) = −Df (x, −ei), ed è Df (x, ei). • Jacobiana: Jg(x), m × n, righe ∇gi(x)T; Jg(x) = ∇g(x)T. • In R: derivabile ⇐⇒ differenziabile, f (x) = f (x0)+f ′(x0)(x−x0)+o(x−x0); derivabile ⇒ continua; normale (−f ′(x0), 1). • In Rn: tutte le parziali e tutte le direzionali non implicano la continuità. 8 Esercizi Esercizio 1 – Le altre derivate parziali Per f (x1, x2, x3) = x2 1 + 3x1x3 + x2x2 3 calcolare ∂f /∂x1 e ∂f /∂x2, il gradiente ∇f (x) e il suo valore in (1, 0, 1). Soluzione a pagina 11 → Esercizio 2 – Gradiente di un seno Sia f (x, y) = sin(x2 + y2). Calcolare ∇f (x, y), poi ∇f (1, −1) e il prodotto scalare ⟨∇f (1, −1), (1, 1)T⟩. Soluzione a pagina 11 → Esercizio 3 – Primo esonero 2025-26, Canale M-Z, Prof. Giampaolo Liuzzi, compiti E e P, esercizio 2, adattato Sono assegnate le funzioni g : R3 → R2 e f : R2 → R così definite: g(x1, x2, x3) = x1 + x2 + x3 − 2 x1 − x3 − 1 ! , f (y1, y2) = ∥(y1, y2)∥2 2, Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 9

Pagina 10

e la funzione h : R3 → R composizione di f e g, cioè h(x) = f (g(x)). Calcolare la Jacobiana Jg(x) e il vettore ∇h(x). Soluzione a pagina 11 → Esercizio 4 – Primo esonero 2025-26, Canale M-Z, Prof. Giampaolo Liuzzi, compiti A e Y, esercizio 2, adattato Sono assegnate le funzioni g : R3 → R2 e f : R2 → R così definite: g(x1, x2, x3) = 1 x1x2x3 ! , f (y1, y2) = ∥(y1, y2)∥2, e la funzione h : R3 → R composizione di f e g, cioè h(x) = f (g(x)). Calcolare la Jacobiana Jg(x) e il vettore ∇h(x). Soluzione a pagina 12 → Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 10

Pagina 11

9 Soluzioni Soluzione dell’Esercizio 1 – Le altre derivate parziali Con la regola pratica, trattando come costanti le altre variabili: ∂f (x) ∂x1 = 2x1 + 3x3, ∂f (x) ∂x2 = x2 3, ∂f (x) ∂x3 = 3x1 + 2x2x3, l’ultima dall’esempio della Sezione 3. Le tre derivate esistono in ogni punto, quindi f è derivabile su R3 e ∇f (x) =    2x1 + 3x3 x2 3 3x1 + 2x2x3    , ∇f (1, 0, 1) =    5 1 3    . ← Torna all’Esercizio 1, pagina 9 Soluzione dell’Esercizio 2 – Gradiente di un seno Con y costante, la derivata della composta rispetto a x è cos(x2 + y2) · 2x; simmetricamente per y: ∇f (x, y) = 2 cos(x2 + y2) x y ! . In (1, −1) l’argomento vale 2: ∇f (1, −1) = 2 cos 2 −2 cos 2 ! , ⟨∇f (1, −1), 1 1 ! ⟩ = 2 cos 2 − 2 cos 2 = 0. ← Torna all’Esercizio 2, pagina 9 Soluzione dell’Esercizio 3 – Primo esonero 2025-26, Canale M-Z, Prof. Giampaolo Liuzzi, compiti E e P, esercizio 2, adattato Le componenti di g sono g1 = x1 + x2 + x3 − 2 e g2 = x1 − x3 − 1, con gradienti costanti. Le righe della Jacobiana sono ∇gT 1 e ∇gT 2 : Jg(x) = 1 1 1 1 0 −1 ! . Poiché f (y) = y2 1 + y2 2 , h(x) = (x1 + x2 + x3 − 2)2 + (x1 − x3 − 1)2. Derivando ogni quadrato come funzione composta: Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 11

Pagina 12

1. ∂h ∂x1 = 2(x1 + x2 + x3 − 2) + 2(x1 − x3 − 1) = 2(2x1 + x2 − 3); 2. ∂h ∂x2 = 2(x1 + x2 + x3 − 2); 3. ∂h ∂x3 = 2(x1 + x2 + x3 − 2) − 2(x1 − x3 − 1) = 2(x2 + 2x3 − 1). Quindi ∇h(x) = 2    2x1 + x2 − 3 x1 + x2 + x3 − 2 x2 + 2x3 − 1    . ← Torna all’Esercizio 3, pagina 9 Soluzione dell’Esercizio 4 – Primo esonero 2025-26, Canale M-Z, Prof. Giampaolo Liuzzi, compiti A e Y, esercizio 2, adattato La prima componente di g è costante, con gradiente nullo; la seconda ha ∇g2(x) = (x2x3, x1x3, x1x2)T. Quindi Jg(x) = 0 0 0 x2x3 x1x3 x1x2 ! . Poi h(x) = p1 + (x1x2x3)2 = q 1 + x2 1x2 2x2 3, con radicando ≥ 1: h è definita su tutto R3. Derivando la radice come funzione composta, per esempio rispetto a x1, ∂h ∂x1 = 2x1x2 2x2 3 2p1 + x2 1x2 2x2 3 = x1x2 2x2 3 p1 + x2 1x2 2x2 3 , e allo stesso modo rispetto a x2 e x3. Con p1 + x2 1x2 2x2 3 = ∥g(x)∥2: ∇h(x) = 1 ∥g(x)∥2    x1x2 2x2 3 x2 1x2x2 3 x2 1x2 2x3    . ← Torna all’Esercizio 4, pagina 10 Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 12

Entrambi

8 Derivate direzionali e parzialiC2

Apertura del capitolo