Stabilità dei sistemi dinamici

Dai modi alla stabilità

Un modo naturale converge, resta limitato o diverge secondo la parte reale $\alpha$ del suo autovalore: negativa, nulla o positiva. La stabilità estende la distinzione a qualunque sistema, anche non lineare: una piccola perturbazione dello stato iniziale produce uno scostamento piccolo? Per i sistemi lineari conta la posizione degli autovalori.

Sollecitare un solo modo

Nell'evoluzione libera basta scegliere $x_0=c_iu_i$ perché compaia il solo modo $i$. Nell'evoluzione forzata il ruolo dello stato iniziale lo hanno le colonne di $B$, fisse: con $u(t)=u_0\,\delta(t)$ si ha $x_f(t)=e^{At}Bu_0$, l'evoluzione libera da $x_0=Bu_0$. Compare il solo modo $i$ se $Bu_0=u_i$ per qualche $u_0$, cioè se $u_i$ appartiene all'immagine di $B$. Per un modo pseudoperiodico basta che l'immagine contenga un vettore non nullo del piano di $u_a$ e $u_b$. È l'eccitabilità separata.

Autovalori con parte reale nulla

Se $\operatorname{Re}\lambda<0$ il modo converge, se $\operatorname{Re}\lambda>0$ diverge, anche quando la molteplicità algebrica supera la geometrica. Se $\operatorname{Re}\lambda=0$ il modo è limitato se e solo se le due molteplicità coincidono. Lo mostrano tre matrici in forma di Jordan, ognuna con un solo blocco $2\times2$:

$$A_1=\begin{pmatrix}-1&1\\0&-1\end{pmatrix},\quad A_2=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\quad A_3=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$$

Hanno l'autovalore doppio $\lambda=-1$, $0$ e $1$ rispettivamente, con $\operatorname{rank}(A-\lambda I)=1$: molteplicità algebrica $2$, geometrica $2-1=1$. C'è un solo autovettore e serve la catena degli autovettori generalizzati. Su un blocco di Jordan l'esponenziale ha $e^{\lambda t}$ sulla diagonale e $te^{\lambda t}$ dove il blocco ha $1$:

$$e^{At}=e^{\lambda t}\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}$$

Le leggi dei modi sono $e^{-t}$ e $te^{-t}$, poi $1$ e $t$, poi $e^{t}$ e $te^{t}$. Per $\lambda=-1$ l'esponenziale decresce più in fretta di quanto $t$ cresca, e il modo converge. Per $\lambda=1$ diverge. Per $\lambda=0$ il termine $t$ diverge, come $t\cos\omega t$ per una coppia $\pm\mathrm j\omega$ con molteplicità geometrica minore dell'algebrica. Se le due molteplicità coincidono quel termine non c'è e il modo resta limitato.

Il termine con $t$ contro l'esponenziale

$t$

• $e^{-t}$
• $t{e}^{-t}$

Punti di equilibrio

Per $\dot x=f(x,u)$ con ingresso costante $u_e$, lo stato $x_e$ è di equilibrio se $f(x_e,u_e)=0$: partendo da $x_e$ il sistema vi resta. Gli equilibri possono essere in numero qualunque: $\dot x=x^2+1$ non ne ha di reali, $\dot x=-x$ ha la sola origine. Il pendolo, con $x_1=\theta$, $x_2=\dot\theta$ e $u_e=0$, ha $x_2=0$ e $x_1$ multiplo intero di $\pi$: infiniti equilibri, fisicamente due posizioni, la massa in basso e in alto. Spostata di poco, quella in basso resta nei dintorni, quella in alto cade.

Stabilità semplice, asintotica, esponenziale

Si perturba lo stato iniziale rispetto a $x_e$. L'equilibrio è stabile se per ogni $\varepsilon>0$ esiste $\delta_\varepsilon>0$ tale che

$$\lVert x(t_0)-x_e\rVert<\delta_\varepsilon\ \Rightarrow\ \lVert x(t)-x_e\rVert<\varepsilon\quad\forall\,t\ge t_0$$

Comunque piccolo sia l'intorno di raggio $\varepsilon$, un intorno iniziale abbastanza piccolo tiene la traiettoria al suo interno. Per il pendolo in alto, con $\varepsilon$ piccolo, nessun $\delta_\varepsilon$ basta. Se la condizione manca anche solo per un $\varepsilon$, l'equilibrio è instabile.

È asintoticamente stabile se è stabile ed esiste $\delta_a>0$ tale che

$$\lVert x(t_0)-x_e\rVert<\delta_a\ \Rightarrow\ \lim_{t\to\infty}\lVert x(t)-x_e\rVert=0$$

Il pendolo in basso con attrito torna alla posizione di equilibrio. Senza attrito oscilla all'infinito in un intorno senza convergere: è solo stabile, di stabilità semplice. Per convergere a $x_e$ l'equilibrio deve essere isolato, altrimenti da un equilibrio vicino la traiettoria non lo raggiunge.

È esponenzialmente stabile se la convergenza è maggiorata da un esponenziale decrescente: esiste un tasso $\lambda>0$ tale che per ogni $\varepsilon>0$ esiste $\delta_\varepsilon>0$ per cui $\lVert x(t_0)-x_e\rVert<\delta_\varepsilon$ implica

$$\lVert x(t)-x_e\rVert<\varepsilon\,e^{-\lambda(t-t_0)}\quad\forall\,t\ge t_0$$

Stabilità semplice e asintotica

Stabilità semplice

$x_e$$x_1$$x_2$

• $x(t)$
• intorno di $x_e$ di raggio $\epsilon$
• intorno di $x_e$ di raggio ${\delta }_{\epsilon }$

Stabilità asintotica

$x_e$$x_1$$x_2$

• $x(t)$
• intorno di $x_e$ di raggio $\epsilon$
• intorno di $x_e$ di raggio ${\delta }_{\epsilon }$

Queste proprietà valgono vicino a $x_e$: sono locali. Una proprietà globale vale per ogni stato iniziale: l'equilibrio è globalmente asintoticamente stabile se è stabile e $\lVert x(t)-x_e\rVert\to0$ comunque si parta. Perciò deve essere l'unico equilibrio.

Stabilità di un moto

Si vuole che il sistema segua un moto $x(t)$, ma lo stato iniziale è perturbato e il moto effettivo è $x_p(t)$, con lo stesso ingresso. Lo scostamento $\xi=x_p-x$ soddisfa

$$\dot\xi=f(x+\xi,u)-f(x,u)=g(t,\xi)$$

Il secondo membro si annulla per $\xi=0$: l'origine è un equilibrio, di un sistema in generale non stazionario, perché $g$ dipende dal tempo attraverso $x(t)$. La stabilità del moto è la stabilità di quell'origine.

Sistemi lineari

Per $\dot x=Ax$ gli equilibri risolvono $Ax_e=0$. Se $\det A\ne0$ l'unico è l'origine. Se $0$ è autovalore le soluzioni formano un sottospazio, per esempio tutto l'asse $x_1$ se la prima colonna di $A$ è nulla: vicino a ogni equilibrio ce ne sono infiniti altri e nessuno è isolato.

Lo scostamento evolve con la matrice di transizione, $x(t)-x_e=\Phi(t-t_0)\,(x(t_0)-x_e)$. Con una norma di matrice indotta, la norma di un prodotto è al più il prodotto delle norme:

$$\lVert x(t)-x_e\rVert\le\lVert\Phi(t-t_0)\rVert\,\lVert x(t_0)-x_e\rVert$$

Se $\lVert\Phi(t)\rVert\le\gamma$ per ogni $t\ge0$ basta $\delta_\varepsilon=\varepsilon/\gamma$. Viceversa la definizione dà $\lVert\Phi(t)\rVert\,\delta_\varepsilon\le\varepsilon$, cioè $\lVert\Phi(t)\rVert\le\varepsilon/\delta_\varepsilon$. Quindi l'equilibrio è stabile se e solo se $\Phi$ è limitata: una proprietà del sistema, non di $x_e$, detta stabilità interna. Gli elementi di $\Phi$ sono combinazioni delle leggi dei modi, e la condizione riguarda gli autovalori $\lambda_i$:

• stabilità: $\operatorname{Re}\lambda_i\le0$ per ogni $i$ e, per gli autovalori con $\operatorname{Re}\lambda_i=0$, molteplicità algebrica e geometrica uguali.
• stabilità asintotica: $\operatorname{Re}\lambda_i<0$ per ogni $i$.

Con $\operatorname{Re}\lambda_i<0$ i blocchi di Jordan non contano, perché l'esponenziale prevale sul polinomio. Allora l'origine è l'unico equilibrio e la convergenza è esponenziale. È anche globale: il cambio di scala $z=hx$, con $h>0$, dà ancora $\dot z=Az$, quindi la convergenza vale da un intorno qualunque.

Un autovalore nullo dà equilibri non isolati ed esclude la stabilità asintotica. Una coppia $\pm\mathrm j\omega$ con $\omega\ne0$ lascia l'origine unico equilibrio, se $0$ non è autovalore, ma il suo modo non si estingue: al più stabilità semplice.

Per i moti conta ancora solo $A$: con $\dot x=Ax+Bu$ e $\dot x_p=Ax_p+Bu$ si ha $\dot\xi=A\xi$.

Il discrimine è l'asse immaginario. Un solo autovalore nel semipiano destro rende il sistema instabile, e lo stesso fa un autovalore sull'asse con molteplicità geometrica minore dell'algebrica. Alcuni casi:

$$\begin{array}{ccl} \begin{pmatrix}-1&2\\0&-3\end{pmatrix} & -1,\ -3 & \text{asintoticamente stabile}\\[0.6em] \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix} & \pm\mathrm j & \text{stabilità semplice}\\[0.6em] \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} & 0,\ 0 & \text{stabilità semplice}\\[0.6em] \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} & 0,\ 0 & \text{instabile}\\[0.6em] \begin{pmatrix}1&0\\0&-2\end{pmatrix} & 1,\ -2 & \text{instabile} \end{array}$$

Nella quarta compare il termine $t$, nell'ultima basta un modo divergente.

Regola dei segni e criterio di Routh

Per il polinomio di secondo grado $\lambda^2+a\lambda+c$ a coefficienti reali non nulli, le radici con parte reale positiva sono tante quante le variazioni di segno fra $1$, $a$, $c$ (regola di Cartesio). Con $a$ e $c$ positivi non ce ne sono: tutte le radici hanno parte reale negativa. Con $a<0$ e $c>0$ le variazioni sono due, e due le radici a parte reale positiva. Per gradi alti il criterio di Routh generalizza la regola e dice in quale semipiano si trovano le radici, senza calcolarle.

Massa-molla-smorzatore

Un carrello di massa $M$ con molla $k$ e smorzatore $b$, mosso da una forza $u$, obbedisce a $M\ddot y+b\dot y+ky=u$. Con $x_1=y$ (posizione) e $x_2=\dot y$ (velocità):

$$\begin{gathered} A=\begin{pmatrix}0&1\\-\frac kM&-\frac bM\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}0\\\frac1M\end{pmatrix}\\ C=\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix},\quad D=0 \end{gathered}$$

Il polinomio caratteristico è

$$\lambda^2+\frac bM\lambda+\frac kM$$

Con $M$, $b$, $k$ positivi non ci sono variazioni di segno: il sistema è asintoticamente stabile, perché l'attrito dissipa energia e il carrello torna all'equilibrio. Se $b^2<4Mk$ le radici sono complesse coniugate e il ritorno oscilla, se $b^2\ge4Mk$ sono reali e non oscilla. Con $b=0$ le radici sono $\pm\mathrm j\sqrt{k/M}$ e il carrello oscilla per sempre: stabilità semplice.

Risposta libera al variare dello smorzamento

Autovalori ($M=1$, $k=4$)

${\lambda }_1$${\lambda }_2$ReIm

• $\mathrm{Re}\lambda <0$

Risposta libera da $y(0)=1$, $\dot{y}(0)=0$

$t$

$b$

0

Esercizio: evoluzione libera

Il sistema

$$\dot x_1=x_2,\qquad \dot x_2=-5x_1-4x_2+u,\qquad y=x_1$$

è un massa-molla-smorzatore con $M=1$, $b=4$, $k=5$. Si cerca l'evoluzione libera da $x_0=(1,1)'$. Il polinomio $\lambda^2+4\lambda+5$ ha coefficienti positivi e radici $\lambda=-2\pm\mathrm j$: $\alpha=-2$, $\omega=1$, una spirale convergente.

Il piano del modo è generato da $u_a$ e $u_b$, che si ricavano da

$$A\begin{pmatrix}u_a&u_b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}u_a&u_b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha&\omega\\-\omega&\alpha\end{pmatrix}$$

Sono quattro equazioni, due indipendenti: si sceglie $u_a=(1,-2)'$ e $u_b=(0,1)'$, e si verifica che $Au_a=-2u_a-u_b$ e $Au_b=u_a-2u_b$. Con $U=(u_a\ u_b)$ di determinante $1$, le righe di $U^{-1}$ sono i vettori sinistri:

$$U^{-1}=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix},\qquad v_a'=(1\ \ 0),\quad v_b'=(2\ \ 1)$$

Le coordinate di $x_0$ sono $c_a=v_a'x_0=1$ e $c_b=v_b'x_0=3$, quindi

$$m=\sqrt{c_a^2+c_b^2}=\sqrt{10},\qquad \tan\varphi=\frac{c_a}{c_b}=\frac13$$

e l'evoluzione libera è

$$x_l(t)=\sqrt{10}\,e^{-2t}\bigl[u_a\sin(t+\varphi)+u_b\cos(t+\varphi)\bigr]$$

L'uscita è la prima componente, che è $1$ per $u_a$ e $0$ per $u_b$:

$$y(t)=\sqrt{10}\,e^{-2t}\sin(t+\varphi)=e^{-2t}\bigl(\cos t+3\sin t\bigr)$$

È una sinusoide con inviluppo esponenziale decrescente.

Evoluzione libera da $x_0=(1,1{)}^{\prime }$

Piano di stato

$x_0$$x_1$$x_2$

• $x_l(t)$

Uscita

$t$

• $y(t)$
• inviluppo $\pm \sqrt{10}{e}^{-2t}$