Sistemi discreti e discretizzazione

Riassunto

La soluzione esplicita di un sistema lineare a tempo discreto separa l’evoluzione libera da quella forzata. Il comportamento dei modi naturali dipende dal modulo degli autovalori: i modi possono essere convergenti, divergenti, alternanti o pseudoperiodici. Un esempio con autovalori $1/2$ e $-1/2$ mostra come scegliere lo stato iniziale per attivare un solo modo. Un processo continuo comandato da un calcolatore, con ingressi mantenuti costanti fra due campionamenti, ammette un modello discreto equivalente: le sue matrici $A_d$ e $B_d$ si ricavano dalla soluzione del sistema continuo, gli autovalori continui si trasformano in quelli discreti tramite l’esponenziale e, per intervalli di campionamento piccoli, basta un’approssimazione al primo ordine.

Concetti chiave

• Evoluzione libera — risposta del sistema dovuta allo stato iniziale, in assenza del contributo dell’ingresso.
• Evoluzione forzata — risposta del sistema dovuta all’ingresso applicato.
• Matrice di transizione — matrice che descrive l’evoluzione libera dello stato; nel sistema discreto è $F(t)=A^t$.
• Modo aperiodico alternante — modo associato a un autovalore reale negativo; il segno della componente cambia a ogni passo, mentre il modulo dell’autovalore ne determina convergenza o divergenza.
• Modo pseudoperiodico — modo associato a una coppia di autovalori complessi coniugati; il modulo della coppia determina se l’ampiezza converge, resta limitata o diverge.
• Sistema discretizzato — modello a tempo discreto equivalente, fra ingresso e uscita, a un processo continuo campionato e comandato con un ingresso costante a tratti.
• Holder — dispositivo che trasforma i campioni dell’ingresso in un segnale continuo a tratti, mantenendo ciascun valore costante per un intervallo di campionamento.
• Campionatore — dispositivo che rileva l’uscita continua a intervalli discreti, di norma sincronizzati con gli aggiornamenti dell’ingresso.
• Intervallo di campionamento — durata $T$ fra due campionamenti consecutivi e fra due aggiornamenti dell’ingresso.

Sviluppo

Soluzione esplicita

Applicando ricorsivamente l’equazione alle differenze a partire dallo stato iniziale si ottiene la soluzione esplicita dello stato; sostituendola nell’equazione d’uscita si ricava l’uscita. Nella soluzione compare solo la differenza fra l’istante corrente e quello iniziale: conta il tempo trascorso dall’inizio dell’osservazione, quindi si può porre $t_0=0$.

Evoluzione libera, forzata e matrici di risposta

La soluzione esplicita è la somma di evoluzione libera ed evoluzione forzata. Come nel caso continuo vale il principio di sovrapposizione: i due contributi si studiano separatamente e poi si sommano.

Nel sistema discreto la matrice di transizione è $A^t$, mentre la risposta impulsiva dello stato contiene $A^{t-1}B$: nell’evoluzione libera l’esponente è $t$, in quella forzata $t-1$. Anche la risposta impulsiva dell’uscita distingue il legame diretto, presente solo per $t=0$, dalla parte dinamica, che inizia per $t\geq 1$.

Autovalori e comportamento dei modi discreti

Per studiare l’evoluzione conviene portare $A$ in una forma semplice: diagonale quando ogni autovalore ha molteplicità geometrica uguale a quella algebrica, a blocchi reali per gli autovalori complessi coniugati. In tempo discreto i contributi modali evolvono come le potenze $\lambda^t$, quindi conta il modulo dell’autovalore.

Se $0<\lambda<1$, il modo decresce senza cambiare segno. Se $-1<\lambda<0$, il modulo decresce ma il segno si alterna a ogni passo: è un modo aperiodico alternante. Con $\lambda=-1/2$ e stato iniziale $5$, per esempio, i valori sono $5$, $-5/2$, $5/4$, $-5/8$ e così via: la traiettoria si avvicina all’origine saltando da un lato all’altro.

Se $|\lambda|>1$, il modo diverge, come accade per $\lambda=1{,}15$. Per una coppia di autovalori complessi coniugati, un modulo minore di uno dà un’oscillazione convergente, uno maggiore di uno un’oscillazione divergente; con modulo uguale a uno il moto resta limitato e oscilla senza smorzarsi.

Un caso proprio del tempo discreto è $\lambda=0$: la componente modale corrispondente si annulla dopo un numero finito di passi. Nei sistemi continui non c’è un analogo, perché lì la convergenza a zero è soltanto asintotica.

Esempio con autovalori $1/2$ e $-1/2$

Sia $A$ una matrice triangolare $2\times 2$ con autovalori semplici $1/2$ e $-1/2$, autovettori destri $u_1=(1,1)^T$ e $u_2=(0,1)^T$ e autovettori sinistri $v_1^T=(1,0)$ e $v_2^T=(-1,1)$. Entrambi gli autovalori hanno modulo minore di uno: il primo genera un modo aperiodico convergente, il secondo un modo alternante convergente.

La matrice di transizione è la somma dei contributi dei due modi, $\lambda_1^t u_1v_1^T+\lambda_2^t u_2v_2^T$; la forma esplicita è nella sezione delle formule.

Scelta dello stato iniziale per isolare un modo

L’evoluzione libera è $A^t$ per lo stato iniziale. Scrivendo lo stato iniziale nella base degli autovettori, i coefficienti dicono quali modi compaiono: per attivare il solo modo aperiodico si sceglie $c_1\neq 0$ e $c_2=0$, per il solo modo alternante $c_1=0$ e $c_2\neq 0$. In generale lo stato iniziale deve giacere nella direzione del modo scelto, o nel suo piano quando il modo è descritto da un piano.

Sistemi discretizzati: holder e campionatore

Un processo fisico, per esempio un satellite, ha una dinamica continua ma può essere comandato da un calcolatore, che produce segnali discreti. Un holder converte i valori discreti in un segnale continuo costante a tratti, mantenendo ogni valore fino all’arrivo del successivo. L’uscita del processo è continua; un campionatore ne rileva i valori a intervalli discreti, di norma sincronizzati con gli aggiornamenti dell’ingresso.

Fra l’ingresso discreto e l’uscita campionata si può cercare un modello a tempo discreto equivalente, utile anche per progettare direttamente un controllore digitale. Lo si ottiene approssimando le equazioni differenziali oppure, in modo esatto, dalla soluzione del sistema continuo.

Modello equivalente con ingresso costante

Si parte dalla soluzione esplicita del processo continuo su un intervallo di campionamento, da $kT$ a $(k+1)T$, nel quale l’ingresso è costante. Ponendo $t_0=kT$ e $t=(k+1)T$, la soluzione diventa un aggiornamento discreto: lo stato al campione successivo dipende da quello corrente tramite $A_d$, più un contributo dell’ingresso tramite $B_d$.

L’uscita campionata conserva le matrici $C$ e $D$, quindi $C_d=C$ e $D_d=D$. La matrice di stato discreta è l’esponenziale della matrice continua sull’intervallo $T$.

Autovalori continui e discreti

Un autovalore continuo reale $\lambda$ diventa l’autovalore discreto $e^{\lambda T}$. Se $\lambda$ è negativo, l’autovalore discreto è positivo e minore di uno; se è positivo, è maggiore di uno. Gli autovalori continui reali non danno quindi modi alternanti nel modello discreto.

Un autovalore continuo complesso $\alpha+j\omega$ diventa un autovalore discreto di modulo $e^{\alpha T}$: una parte reale negativa dà un modo convergente, una positiva un modo divergente, una nulla un modo limitato. La discretizzazione conserva così il carattere convergente o divergente dei modi, e in generale anche quello aperiodico o pseudoperiodico, salvo alcuni casi legati all’intervallo di campionamento.

Casi particolari legati al campionamento

L’argomento dell’autovalore discreto è $\omega T$. Se $\omega T=\pi$, il seno si annulla e il coseno vale $-1$: i due autovalori discreti della coppia coincidono in $-e^{\alpha T}$ e il modo diventa alternante.

Se $\omega T=2\pi$, il seno si annulla e il coseno vale $1$: i due autovalori coincidono in $e^{\alpha T}$ e il modo appare aperiodico. In entrambi i casi il campionamento non conserva l’oscillazione del sistema continuo.

Calcolo esplicito di $B_d$

$B_d$ è un integrale sull’intervallo da $kT$ a $(k+1)T$. Con il cambio di variabile $\xi=(k+1)T-\tau$ gli estremi diventano $T$ e $0$; il segno di $d\xi=-d\tau$ li riporta nell’ordine e si ottiene l’integrale da $0$ a $T$ di $e^{A\xi}B$.

Se $A$ è invertibile, cioè non ha l’autovalore zero, l’esponenziale si integra in forma chiusa e $B_d$ si calcola esattamente.

Approssimazione al primo ordine

Troncando al primo ordine lo sviluppo in serie dell’esponenziale si ottiene l’approssimazione di Eulero, $A_d\approx I+AT$ e $B_d\approx TB$. È adeguata quando $T$ è abbastanza piccolo da rendere trascurabili i termini di ordine superiore. Aggiungere termini di solito migliora l’approssimazione, ma non sempre.

Stabilità ed esempi

Gli autovalori continui con parte reale negativa finiscono all’interno del cerchio unitario, quelli con parte reale positiva all’esterno. L’asse immaginario, che nel continuo separa modi convergenti e divergenti, corrisponde alla circonferenza unitaria nel discreto.

Per esercizio si possono calcolare le matrici discrete di un sistema scalare con $a=-2$: $A_d=e^{-2T}$ e $B_d=\frac{1-e^{-2T}}{2}\,b$. Il doppio integratore invece ha un autovalore nullo di molteplicità algebrica due e geometrica uno: $A$ non è invertibile, la formula chiusa per $B_d$ non vale e il calcolo dell’esponenziale richiede la forma di Jordan.

Formule e dimostrazioni

Soluzione esplicita dello stato discreto

$$x(t)=A^{t-t_0}x(t_0)+\sum_{\tau=t_0}^{t-1}A^{t-\tau-1}B\,u(\tau)$$

$x(t)$ è lo stato, $A$ la matrice di stato, $B$ la matrice d’ingresso, $u(\tau)$ l’ingresso e $t_0$ l’istante iniziale. La sommatoria è il contributo forzato accumulato nei passi da $t_0$ a $t-1$.

Uscita del sistema discreto

$$y(t)=CA^{t-t_0}x(t_0)+\sum_{\tau=t_0}^{t-1}CA^{t-\tau-1}B\,u(\tau)+D\,u(t)$$

$y(t)$ è l’uscita; $C$ e $D$ sono le matrici di uscita e di legame diretto. I primi due termini vengono dallo stato, $D\,u(t)$ è il contributo diretto dell’ingresso.

Matrici di risposta del sistema discreto

$$F(t)=A^t,\qquad H(t)=A^{t-1}B$$ $$\Psi(t)=CA^t,\qquad W(t)= \begin{cases} D, & t=0,\\ CA^{t-1}B, & t\geq 1. \end{cases}$$

$F(t)$ è la matrice di transizione e $H(t)$ la risposta impulsiva dello stato; $\Psi(t)$ e $W(t)$ sono i contributi della condizione iniziale e dell’ingresso all’uscita.

Evoluzione libera e scomposizione modale dell’esempio

$$x_L(t)=A^t x(0)$$ $$F(t)=\left(\frac12\right)^t u_1v_1^T+\left(-\frac12\right)^t u_2v_2^T$$

Con $u_1=(1,1)^T$, $v_1^T=(1,0)$, $u_2=(0,1)^T$ e $v_2^T=(-1,1)$:

$$F(t)=\left(\frac12\right)^t \begin{bmatrix}1&0\\1&0\end{bmatrix} +\left(-\frac12\right)^t \begin{bmatrix}0&0\\-1&1\end{bmatrix}.$$

Scomponendo lo stato iniziale, i coefficienti $c_1$ e $c_2$ decidono quali modi sono attivati:

$$x_L(t)=\lambda_1^t u_1c_1+\lambda_2^t u_2c_2.$$

Modi reali e modulo degli autovalori

$$x(t)\propto\lambda^t$$

Per $0<\lambda<1$ il modo converge senza alternare il segno; per $-1<\lambda<0$ converge alternandolo; per $|\lambda|>1$ diverge. Per $\lambda=0$ la componente modale si annulla in un numero finito di passi.

Discretizzazione con ingresso mantenuto costante

$$x(t)=e^{A(t-t_0)}x(t_0)+\int_{t_0}^{t}e^{A(t-\tau)}B\,u(\tau)\,d\tau$$

Con $t_0=kT$, $t=(k+1)T$ e $u$ costante sull’intervallo:

$$x_{k+1}=A_dx_k+B_du_k,\qquad y_k=C_dx_k+D_du_k$$ $$A_d=e^{AT},\qquad B_d=\int_0^T e^{A\xi}B\,d\xi,\qquad C_d=C,\qquad D_d=D.$$

$T$ è l’intervallo di campionamento, $x_k=x(kT)$ e $u_k=u(kT)$ è il valore mantenuto nell’intervallo; $A$ e $B$ sono le matrici del modello continuo.

Autovalori continui e discreti

Per un autovalore continuo reale $\lambda$:

$$\lambda_d=e^{\lambda T}.$$

Per un autovalore complesso $\lambda=\alpha+j\omega$:

$$\lambda_d=e^{(\alpha+j\omega)T} =e^{\alpha T}\bigl(\cos(\omega T)+j\sin(\omega T)\bigr).$$

Il modulo è $|\lambda_d|=e^{\alpha T}$. Se $\omega T=\pi$, $\lambda_d=-e^{\alpha T}$; se $\omega T=2\pi$, $\lambda_d=e^{\alpha T}$.

Formula chiusa per $B_d$ quando $A$ è invertibile

Il cambio di variabile $\xi=(k+1)T-\tau$ dà

$$B_d=\int_{kT}^{(k+1)T}e^{A((k+1)T-\tau)}B\,d\tau =\int_0^T e^{A\xi}B\,d\xi.$$

Se $A$ è invertibile,

$$\int_0^T e^{A\xi}\,d\xi=A^{-1}(e^{AT}-I),$$

quindi

$$B_d=A^{-1}(e^{AT}-I)B,$$

con $I$ la matrice identità.

Approssimazione di Eulero

$$e^{AT}=I+AT+\frac{(AT)^2}{2!}+\cdots$$

Troncando al primo ordine:

$$A_d\approx I+AT,\qquad B_d\approx TB.$$

$T$ deve essere abbastanza piccolo perché i termini di ordine superiore siano trascurabili.