Derivate parziali e direzionali

Restrizione a una semiretta

Una funzione di più variabili si studia meglio lungo un percorso: restringendola a un insieme descritto da un parametro si ottiene una funzione di una sola variabile. Dati un punto $P_0$ e una direzione $d\neq 0$, i punti $P_0+td$ con $t\ge0$ formano la semiretta con origine $P_0$ e direzione $d$; con $t\in\mathbb R$ si ha tutta la retta. La restrizione di $f$ all'insieme $A$ di questi punti dipende solo da $t$:

$$f|_A(t)=\varphi(t)=f(P_0+td)$$

Per scriverla basta sostituire in $f$ le coordinate di $P_0+td$. Esempio: la restrizione della funzione

$$\begin{aligned} f(x,y)&=\bigl(4-2{,}1x^2+\tfrac13x^4\bigr)x^2\\ &\quad+xy+(-4+4y^2)y^2 \end{aligned}$$

alla retta $x=-1+2t$, $y=t$ è

$$\begin{aligned} \varphi(t)&=\bigl(4-2{,}1(-1+2t)^2+\tfrac13(-1+2t)^4\bigr)\\ &\quad\cdot(-1+2t)^2+(-1+2t)\,t\\ &\quad+(-4+4t^2)\,t^2 \end{aligned}$$

un polinomio di sesto grado in $t$.

Se $f$ è una forma quadratica, la restrizione è un polinomio di grado al più due in $t$. Per $f(x_1,x_2)=x_1^2+x_2^2$, il paraboloide con vertice nell'origine, con $P_0=(1,1)$ e $d=(-2,-2)$ si ha $P_0+td=(1-2t,\,1-2t)$ e

$$\varphi(t)=2(1-2t)^2=2-8t+8t^2$$

Derivata direzionale

La restrizione porta da $n$ variabili a una sola, quindi si può fare il rapporto incrementale di $\varphi$ in $t=0$. Si guarda la semiretta, quindi $t\to0^+$.

$f:\mathbb R^n\to\mathbb R$ ammette derivata direzionale in $x\in\mathbb R^n$ lungo $d\in\mathbb R^n$ quando esiste finito il limite del rapporto incrementale

$$Df(x,d)=\lim_{t\to0^+}\frac{f(x+td)-f(x)}{t}$$

Un limite uguale a $\pm\infty$ non dà una derivata direzionale.

Nell'esempio, con $x=P_0=(1,1)$, si ha $\varphi(0)=f(x)=2$ e

$$\begin{gathered} \frac{\varphi(t)-\varphi(0)}{t}=-8+8t\\[0.4em] Df(x,d)=\lim_{t\to0^+}(-8+8t)=-8 \end{gathered}$$

Restrizione di $x_1^2+x_2^2$ lungo $d$

Il piano di $f$

$P_0$$P_0+hd$$x_1$$x_2$

• curve di livello di $f$
• semiretta $P_0+td$, $t\ge 0$

La restrizione $\phi (t)$

$\phi (0)$$\phi (h)$$t$

• $\phi (t)$
• secante per $t=0$ e $t=h$
• tangente in $t=0$

$h$

0,45

Derivate parziali e gradiente

Se si fa variare una sola coordinata, si restringe $f$ a una retta parallela a un asse. Per

$$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+3x_1x_3+x_2x_3^2$$

si fissa $x$ e si incrementa solo la terza coordinata di $h$, con $A=\{y:\ y_1=x_1,\ y_2=x_2,\ y_3=x_3+h\}$. Qui $x_1,x_2,x_3$ sono numeri fissati e solo $h$ varia:

$$\begin{aligned} \varphi(h)&=x_1^2+3x_1(x_3+h)+x_2(x_3+h)^2\\ &=\varphi(0)+(3x_1+2x_2x_3)\,h+x_2h^2 \end{aligned}$$ $$\lim_{h\to0}\frac{\varphi(h)-\varphi(0)}{h}=3x_1+2x_2x_3=\psi(x)$$

Il risultato è una funzione di $x$, perché la restrizione contiene ancora $x_1,x_2,x_3$. Nel punto $(1,0,1)$ vale $\psi(1,0,1)=3$.

In generale la derivata parziale di $f$ rispetto a $x_i$, se esiste finita, è

$$\frac{\partial f(x)}{\partial x_i}=\lim_{h\to0}\frac{f(x+he_i)-f(x)}{h}$$

Qui $e_i$ è l'$i$-esimo vettore della base canonica: $x+he_i$ incrementa di $h$ la sola coordinata $i$, le altre restano ferme. Anche questo è un limite di una variabile, e $h\to0$ da entrambe le parti.

$f$ è derivabile in $x$ quando esistono finite tutte le derivate parziali. Se ne manca una, $f$ non è derivabile in $x$. Il vettore colonna delle derivate parziali è il gradiente:

$$\nabla f(x)=\begin{pmatrix} \dfrac{\partial f(x)}{\partial x_1}\\ \vdots\\ \dfrac{\partial f(x)}{\partial x_n} \end{pmatrix}$$

Legame con le derivate direzionali. Il limite per $h\to0$ esiste finito se e solo se esistono finiti, e uguali, i limiti da destra e da sinistra. Quello da destra è $Df(x,e_i)$. Per quello da sinistra si pone $t=-h$:

$$\begin{aligned} &\lim_{h\to0^-}\frac{f(x+he_i)-f(x)}{h}\\ &=\lim_{t\to0^+}\frac{f(x-te_i)-f(x)}{-t}\\ &=-Df(x,-e_i) \end{aligned}$$

Quindi, se esiste la derivata parziale,

$$\begin{aligned} \frac{\partial f(x)}{\partial x_i}&=Df(x,e_i)\\ &=-Df(x,-e_i) \end{aligned}$$

cioè le derivate direzionali lungo $e_i$ e $-e_i$ esistono e sono opposte. Viceversa, se esistono e sono opposte, esiste la derivata parziale. I due concetti sono legati ma non coincidono.

Funzioni a valori vettoriali: la matrice Jacobiana

Sia $g:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$ con componenti $g_1,\dots,g_m$, tutte derivabili. Ci sono $m\cdot n$ derivate parziali $\partial g_i(x)/\partial x_j$, raccolte nella matrice Jacobiana, con una riga per componente e una colonna per variabile:

$$J(x)=\begin{pmatrix} \nabla g_1(x)^\top\\ \vdots\\ \nabla g_m(x)^\top \end{pmatrix}\in\mathbb R^{m\times n}$$

I gradienti sono colonne, quindi nelle righe compaiono trasposti. La matrice $\nabla g(x)$, con i gradienti $\nabla g_i(x)$ per colonne, è $n\times m$, e si ha $J(x)=\nabla g(x)^\top$.

Esempio: gradiente di $e^{x^2+y^2}$

Per derivare rispetto a $x$ si tiene $y$ costante e si deriva l'esponenziale composto: derivata dell'esponenziale per derivata dell'esponente. Per $y$ è simmetrico.

$$\begin{gathered} f(x,y)=e^{x^2+y^2}\\[0.4em] \nabla f(x,y)=\begin{pmatrix} 2x\,e^{x^2+y^2}\\ 2y\,e^{x^2+y^2} \end{pmatrix} \end{gathered}$$

Nel punto $(-2,1)$ l'esponente vale $5$:

$$\nabla f(-2,1)=\begin{pmatrix}-4e^5\\2e^5\end{pmatrix}$$

Il prodotto scalare con $(1,1)$ è la somma delle componenti:

$$\langle\nabla f(-2,1),(1,1)\rangle=-4e^5+2e^5=-2e^5$$

In una variabile: derivabilità e retta tangente

Per $f:\mathbb R\to\mathbb R$, $f$ è derivabile in $x_0$ se esiste finito il limite

$$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\ell$$

e il suo valore è la derivata $f'(x_0)$. $f$ è differenziabile in $x_0$ se esiste una costante $a$ tale che, per $x\to x_0$,

$$f(x)=f(x_0)+a(x-x_0)+o(x-x_0)$$

dove $o(x-x_0)$ è un infinitesimo di ordine superiore a $x-x_0$:

$$\lim_{x\to x_0}\frac{o(x-x_0)}{x-x_0}=0$$

Vicino a $x_0$, $f$ è la funzione affine $f(x_0)+a(x-x_0)$ più un errore che tende a zero più in fretta di $x-x_0$. In una variabile le due nozioni sono equivalenti e $a=f'(x_0)$. Il grafico della funzione affine è la retta tangente al grafico di $f$ in $(x_0,f(x_0))$:

$$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$$

Il vettore $(-f'(x_0),1)$ è normale alla tangente, perché è ortogonale alla direzione $(1,f'(x_0))$. Una funzione derivabile in $x_0$ è continua in $x_0$: il grafico non ha salti, e non ha spigoli, perché in uno spigolo la tangente non esisterebbe.

Con più variabili le derivate non bastano

In una variabile derivabile implica continua. Con più variabili non è così: due funzioni costanti a tratti sono derivabili nell'origine, cioè hanno le derivate parziali, senza essere continue. La seconda ha anche tutte le derivate direzionali.

Prima funzione, uguale a $1$ fuori dagli assi e a $0$ sugli assi:

$$f(x,y)=\begin{cases}1&\text{se }xy\neq0\\0&\text{se }xy=0\end{cases}$$

Non è continua in $(0,0)$: lì vale $0$, ma in ogni intorno ci sono punti fuori dagli assi in cui vale $1$. Ha però le derivate parziali, perché sull'asse $x$ la funzione è nulla e il numeratore vale $0$, senza forma indeterminata:

$$\begin{aligned} \frac{\partial f(0,0)}{\partial x}&=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}\\ &=\lim_{h\to0}\frac{0}{h}=0 \end{aligned}$$

Lo stesso vale per $y$. Quindi $f$ è derivabile in $(0,0)$ ma non continua. Le derivate direzionali lungo $\pm e_i$ esistono e sono $0$. Con $d=(d_1,d_2)$ e $d_1d_2\neq0$, invece, il punto $td$ con $t>0$ sta fuori dagli assi e $f(td)=1$:

$$\frac{f(td)-f(0,0)}{t}=\frac1t\to+\infty$$

Il limite non è finito: lungo queste direzioni non c'è derivata direzionale.

Una funzione che vale $1$ fuori dagli assi

Direzione $d$

$(1,0)$$(1,1)$$(-1,1)$

Il piano di $f$; sugli assi $f=0$

$x$$y$

• $f=1$: $xy\ne 0$, assi esclusi
• semiretta $td$

Rapporto incrementale in $(0,0)$ lungo $d$

$t$

• $(f(td)-f(0,0))/t$

Seconda funzione. Sia $S$ la regione strettamente compresa fra le parabole $y=x^2$ e $y=2x^2$:

$$\begin{gathered} S=\{(x,y):\ x^2<y<2x^2\}\\[0.4em] f(x,y)=\begin{cases}1&(x,y)\in S\\0&(x,y)\notin S\end{cases} \end{gathered}$$

Le parabole e gli assi non appartengono a $S$, e $f(0,0)=0$. Non è continua in $(0,0)$: i punti $(x,\,1{,}5\,x^2)$ con $x\neq0$ stanno in $S$ e tendono all'origine, ma $f$ vale $1$ in essi e $0$ nell'origine. Le derivate parziali sono $0$, perché sugli assi $f$ è nulla.

Per le derivate direzionali sia $d=(d_1,d_2)\neq0$. Dividendo per $t>0$, il punto $td$ sta in $S$ se e solo se $d_1^2\,t<d_2<2d_1^2\,t$. Serve $d_1\neq0$, $d_2>0$ e

$$\frac{d_2}{2d_1^2}<t<\frac{d_2}{d_1^2}$$

Questo intervallo sta a distanza positiva da $0$, quindi per $t$ abbastanza piccolo $f(td)=0$. Il rapporto incrementale è nullo e $Df((0,0),d)=0$ per ogni $d$.

Una funzione che vale $1$ fra due parabole

Il piano di $f$

$x$$y$

• $f=1$: $x^2<y<2x^2$, bordo escluso
• semiretta $td$

Rapporto incrementale in $(0,0)$ lungo $d$

$t$

• $(f(td)-f(0,0))/t$

angolo di $d$

0,6

La funzione ha in $(0,0)$ le derivate parziali e le derivate direzionali in ogni direzione, ma non è continua. I rapporti incrementali guardano solo le rette per il punto, e $f$ può comportarsi in modo diverso lungo altre curve, qui le parabole. Con più variabili l'esistenza di derivate parziali e direzionali non basta a garantire la continuità: serve una nozione più forte.