Fondamenti di teoria dei segnali

Riassunto

Un segnale è una grandezza fisica che trasporta informazione. I segnali monodimensionali deterministici si classificano in quattro tipologie in base alla continuità nel tempo e nell'ampiezza: analogico (continuo in entrambe), campionato (discreto nel tempo, continuo nell'ampiezza), quantizzato (continuo nel tempo, discreto nell'ampiezza) e digitale (discreto in entrambe). Una catena di comunicazione comprende la sorgente, eventuali trasduttori, il canale e il ricevitore; durante la trasmissione il segnale può subire rumore, attenuazione e interferenza. I segnali complessi permettono di rappresentare due segnali reali come parte reale e parte immaginaria di un unico segnale, con applicazioni pratiche nelle comunicazioni. I segnali elementari rettangolare (rect), triangolare (tri) e gradino unitario forniscono esempi semplici per operazioni di somma, prodotto, traslazione e scalatura.

Concetti chiave

• Segnale — grandezza fisica che trasporta un'informazione di interesse.
• Segnale deterministico — segnale misurato considerato noto e fissato, non descritto tramite una probabilità.
• Segnale analogico — segnale continuo sia nel tempo sia nell'ampiezza.
• Segnale campionato — segnale discreto nel tempo e continuo nell'ampiezza; si ottiene prelevando campioni a intervalli regolari.
• Segnale digitale — segnale discreto sia nel tempo sia nell'ampiezza; nel caso binario assume i valori 0 e 1.
• Segnale quantizzato — segnale continuo nel tempo ma discreto nell'ampiezza.
• Segnale complesso — modello che rappresenta una coppia di segnali come parte reale e parte immaginaria dello stesso segnale.
• Segnale armonico — segnale sinusoidale (seno o coseno) che oscilla a una determinata frequenza.
• Trasduttore — sistema che converte un segnale da una natura o forma a un'altra.
• Canale di comunicazione — mezzo fisico attraverso cui si propaga il segnale tra sorgente e ricevitore.
• Rumore — disturbo che può corrompere il segnale durante la trasmissione.
• Attenuazione — riduzione del segnale durante la propagazione.
• Interferenza — effetto dovuto alla coesistenza di segnali diversi nello stesso canale.
• RECT — segnale rettangolare unitario centrato nell'origine, di altezza 1 tra $-1/2$ e $1/2$, pari a $1/2$ nei punti di discontinuità.
• TRI — segnale triangolare con vertice in $(0,1)$ e zeri in $t=-1$ e $t=1$.
• Gradino unitario — segnale nullo per tempi negativi e pari a 1 per $t\geq 0$.

Sviluppo

Scopo della teoria dei segnali

La teoria dei segnali studia che cosa è un segnale, quali operazioni si possono svolgere e come lo si può trasmettere ed elaborare. Precede la rappresentazione in pacchetti e bit nelle reti di comunicazione e comprende il passaggio opportuno da segnale analogico a digitale.

Definizione di segnale

Un segnale è una grandezza fisica che porta informazione. L'elettrocardiogramma (ECG) è un esempio: un potenziale elettrico che contiene informazioni sul battito cardiaco. Nel grafico il segnale è rappresentato in funzione del tempo, denotato con $x(t)$, e può essere continuo sia sull'asse temporale sia su quello delle ampiezze.

Dimensionalità dei segnali

I segnali si possono acquisire da più sensori e considerare insieme. Anche un'immagine è un segnale, nel caso bidimensionale. Qui ci si concentra sui segnali monodimensionali, nel caso più generale in funzione del tempo. Quando si disegna un grafico, è necessario indicare che cosa rappresentano gli assi.

Segnali deterministici

Si considerano segnali certi o deterministici: segnali misurati trattati come noti e fissati, non descritti tramite una probabilità. La teoria dei segnali comprende anche segnali aleatori, caratterizzati da una densità di probabilità, ma questi sono fuori dal programma. Nei casi reali può capitare di conoscere o modellare la distribuzione probabilistica senza avere accesso al segnale effettivo.

Esempio: la voce come segnale analogico

La voce è un esempio di segnale analogico: un segnale nel tempo, continuo e con ampiezza continua, anche se limitata. Un'onda di pressione si propaga nello spazio fino al ricevitore. In generale, una catena di comunicazione comprende una sorgente, eventuali trasduttori, il canale e il ricevitore. Il microfono converte il segnale della voce da onda di pressione a segnale elettrico; un cellulare converte il segnale elettrico in segnale elettromagnetico per la trasmissione e poi lo riconverte in onda di pressione udibile dal lato del ricevitore.

Canali di comunicazione e disturbi

Esempi di canale di comunicazione includono satelliti, fibra ottica e radiazione infrarossa. Una trasmissione ideale può essere disturbata in tre modi: il segnale può essere corrotto dal rumore, attenuato lungo il percorso, o soggetto a interferenza con altri segnali che condividono il canale. Questi aspetti saranno ripresi dopo aver studiato i segnali e le operazioni applicate prima della trasmissione.

Segnale analogico: continuità nel tempo e nell'ampiezza

Un segnale analogico è continuo nel tempo e continuo nell'ampiezza. La forma del grafico può variare; la caratteristica che lo definisce è la continuità su entrambi gli assi.

Segnale campionato: discreto nel tempo, continuo nell'ampiezza

Il segnale campionato è discreto nel tempo ma continuo nell'ampiezza. Si ottiene prelevando campioni del segnale, eventualmente con passo regolare, indicato con $T$. Le ampiezze dei campioni possono ancora assumere i valori del segnale analogico di partenza.

Segnale digitale: discreto nel tempo e nell'ampiezza

Il segnale digitale è discreto sia nel tempo sia nell'ampiezza. Nel caso particolare di un segnale binario, i livelli possibili sono due, per esempio 0 e 1.

Segnale quantizzato: continuo nel tempo, discreto nell'ampiezza

Il segnale quantizzato è continuo nel tempo e discreto nell'ampiezza. Il segnale può variare continuamente nel tempo, ma assume solo un insieme discreto di livelli di ampiezza.

Riepilogo delle quattro tipologie

La continuità o discrezione sui due assi produce quattro tipologie:

• Analogico: continuo nel tempo e nell'ampiezza
• Campionato: discreto nel tempo e continuo nell'ampiezza
• Quantizzato: continuo nel tempo e discreto nell'ampiezza
• Digitale: discreto su entrambi gli assi

Segnali complessi: rappresentazione di due segnali

Gli esempi pratici discussi sono segnali reali. I segnali complessi entrano in gioco quando si rappresentano due segnali come parte reale e parte immaginaria di un unico segnale complesso. In questo modo, a ogni istante il valore complesso contiene due componenti. Questo approccio è utile per codificare due informazioni nello stesso valore trasmesso, migliorando l'efficienza delle comunicazioni.

Rappresentazione nel piano complesso

Un numero complesso si rappresenta come un punto nel piano complesso, con parte reale sull'asse orizzontale e parte immaginaria su quello verticale. Il punto è caratterizzato dalla parte reale e immaginaria, oppure dal modulo e dalla fase. Applicato ai segnali, questo modello rappresenta una componente reale e una immaginaria che variano nel tempo. Si considerano prevalentemente segnali reali, ma talvolta si usano quelli complessi.

Segnali complessi in un mezzo trasmissivo

Uno stesso mezzo, come un cavo coassiale o una fibra ottica, può essere usato per più comunicazioni contemporanee. Un modello possibile consiste nel collocare un segnale nella parte reale e un altro nella parte immaginaria del segnale complesso, rappresentando così due segnali con un singolo valore complesso a ogni istante. Per un numero maggiore di segnali servono ulteriori modalità di trasmissione.

Esponenziale complesso

L'esponenziale complesso è un segnale importante per il corso. Si scompone in un coseno e un seno alla frequenza $f_0$, con una fase iniziale. Il suo modulo è costante e pari all'ampiezza, mentre la fase varia linearmente nel tempo.

Rumore e modelli probabilistici

Il rumore può essere modellato se se ne conoscono le caratteristiche, come modelli additivi o dipendenti dalla distanza e dal mezzo. Se non si dispone di un modello deterministico del segnale, ma di un modello probabilistico, l'analisi rientra nell'elaborazione statistica del segnale e può basarsi su una densità di probabilità.

Segnali elementari: motivazione

Vengono introdotti alcuni segnali elementari perché permettono di svolgere a mano calcoli e disegni semplici, utili per la pratica. Dopo aver compreso le operazioni su questi esempi, si potranno usare strumenti di programmazione, come Python, per effettuare i calcoli su segnali più complessi.

Segnale rettangolare RECT

RECT è il rettangolo unitario centrato nell'origine, con ampiezza 1 tra $-1/2$ e $1/2$. Per convenzione, vale $1/2$ nei due punti di discontinuità e zero altrove. La notazione RECT si riferisce sempre a questa forma. È semplice da usare per introdurre le operazioni e sarà utile per capire la convoluzione e il suo collegamento con un filtro ideale passa-basso.

Segnale triangolare TRI

TRI è un triangolo specifico, con vertice in $(0,1)$ e intersezioni con l'asse dei tempi in $t=-1$ e $t=1$. Nei due tratti obliqui è descritto da $1+t$ a sinistra e da $1-t$ a destra. Si può esprimere anche come: $\operatorname{tri}(t) = 1-|t|$ per $|t|\leq 1$, zero altrove.

Gradino unitario

Il gradino unitario vale zero per $t<0$ e uno per $t\geq 0$. Il valore 1 in $t=0$ è soltanto una convenzione, a differenza della RECT, che nei punti di discontinuità vale $\frac12$.

Operazioni sui segnali

Sui segnali si possono eseguire somme e prodotti, come sulle funzioni. Si può inoltre moltiplicare un segnale per una costante, traslarlo e scalarlo. Per controllare un disegno ottenuto dopo una traslazione o una scalatura, è utile seguire un punto noto, per esempio un punto di discontinuità.

Traslazione temporale

La traslazione generica è espressa come $x(t-\tau)$. Con $\tau$ positivo il segnale si sposta verso destra (ritardo); con $\tau$ negativo si sposta verso sinistra (anticipo). Lo spostamento verso destra corrisponde a un ritardo perché lo stesso valore del segnale compare a tempi successivi; quello verso sinistra è un anticipo perché il valore compare a tempi precedenti.

Scalatura verticale e orizzontale

Una scalatura orizzontale modifica il supporto del segnale. Per esempio, un triangolo originariamente definito su $[-1,1]$ può essere esteso a $[-3,3]$ con una scalatura appropriata. Una scalatura verticale moltiplica l'ampiezza per un fattore costante. Combinando le due, un rettangolo può essere scalato verticalmente di un fattore 2 e orizzontalmente di un fattore 4, ottenendo $2\operatorname{rect}(t/4)$, in cui i punti di discontinuità passano a $t=-2$ e $t=2$. È utile controllare i punti notevoli per verificare il disegno.

Formule e dimostrazioni

Segnale complesso

$$x(t)=x_R(t)+j x_I(t)$$

$x(t)$ è il segnale al tempo $t$; $x_R(t)$ e $x_I(t)$ sono rispettivamente la parte reale e quella immaginaria; $j$ è l'unità immaginaria.

Esponenziale complesso

$$x(t)=A e^{j(2\pi f_0 t+\varphi)}$$

$A$ è l'ampiezza, $f_0$ la frequenza, $t$ il tempo e $\varphi$ la fase iniziale. L'argomento dell'esponenziale è la fase del segnale.

Scomposizione in coseno e seno

$$x(t)=A\cos(2\pi f_0 t+\varphi)+jA\sin(2\pi f_0 t+\varphi)$$

È la scomposizione dell'esponenziale complesso nelle sue componenti armoniche reale e immaginaria.

Modulo e fase dell'esponenziale complesso

$$|x(t)|=A,\qquad \arg x(t)=2\pi f_0 t+\varphi$$

Il modulo è costante e pari ad $A$; la fase varia linearmente con $t$.

Segnale rettangolare unitario

$$\operatorname{rect}(t)= \begin{cases} 1, & |t|<\frac{1}{2},\\[0.2em] \frac{1}{2}, & |t|=\frac{1}{2},\\[0.2em] 0, & |t|>\frac{1}{2}. \end{cases}$$

Il valore nei punti di discontinuità segue la convenzione esplicitata.

Segnale triangolare

$$\operatorname{tri}(t)= \begin{cases} 1+t, & -1\leq t\leq 0,\\[0.2em] 1-t, & 0<t\leq 1,\\[0.2em] 0, & |t|>1. \end{cases}$$

Alternativamente, per $|t|\leq 1$:

$$\operatorname{tri}(t) = 1-|t|$$

Gradino unitario

$$\text{u}(t)= \begin{cases} 0, & t<0,\\[0.2em] 1, & t\geq 0. \end{cases}$$

Traslazione temporale

$$x(t-\tau)$$

$\tau>0$ produce un ritardo, $\tau<0$ produce un anticipo.