Introduzione ai sistemi dinamici e alla loro rappresentazione

Che cos'è un sistema

Un sistema è un insieme di almeno due elementi collegati, che concorrono a un funzionamento comune. Per studiarlo si sceglie un punto di vista e, rispetto a quello, si decide che cosa entra e che cosa esce.

Gli elementi possono essere concreti o astratti: un'automobile, con parti elettriche, meccaniche e idrauliche, ma anche un sistema economico. Una parte può essere a sua volta un sistema. La definizione è generale apposta: la stessa matematica descrive sistemi elettrici, economici, biologici.

«Collegati» vuol dire che c'è una relazione, e la relazione dipende dal punto di vista. La banca centrale osserva i dati e fissa il tasso d'interesse; un imprenditore osserva il tasso e decide come investire. Ciò che è causa per uno è effetto per l'altro. Orientare il sistema significa scegliere l'ingresso $u$, ciò che agisce, e l'uscita $y$, ciò che interessa osservare.

Poi gli elementi e le relazioni vanno definiti con la matematica, con domini precisi: per le persone che «stanno insieme» bisogna dire chi è incluso e che cosa conta come relazione.

Sistemi dinamici e causali

Un sistema è dinamico se le condizioni presenti dipendono non solo da ciò che avviene adesso, ma anche da ciò che è successo prima. Si versa un litro in un secchio: quanta acqua c'è? Dipende da quanta ce n'era.

Un sistema è causale se il futuro non determina il passato: l'uscita in $t$ dipende dall'ingresso fino a $t$, non da quello di domani. I sistemi che si incontrano sono tutti causali. Con più ingressi e più uscite, ogni uscita può dipendere da alcuni o da tutti gli ingressi:

$$\begin{aligned} y_1(t)&=F_1\bigl(u_1\big|_{(-\infty,t)},\dots\bigr)\\ y_2(t)&=F_2\bigl(u_1\big|_{(-\infty,t)},u_2\big|_{(-\infty,t)},\dots\bigr) \end{aligned}$$

Qui $u\big|_{(-\infty,t)}$ è l'ingresso ristretto all'intervallo prima di $t$. Tenere tutta la storia dell'ingresso è però troppo: dell'acqua versata nel secchio non interessa il dettaglio, ma l'effetto che ha prodotto.

Lo stato riassume il passato

Basta guardare com'è il sistema adesso: «sta così ora». L'informazione contenuta in $u\big|_{(-\infty,t_0)}$ si riassume nello stato $x(t_0)$, perché come ci si sia arrivati non interessa. Per il secchio è la quantità d'acqua; per un aereo che accelera, la velocità di partenza. Fissato $t_0$:

$$y(t)=F\bigl(t,t_0,x(t_0),u\big|_{[t_0,t)}\bigr)$$

Che $x(t_0)$ basti è un'ipotesi, e si controlla con un esperimento. Si parte da $t_0$ e si arriva a un istante intermedio $t_1$ usando l'ingresso su $[t_0,t_1)$; si riassume la condizione raggiunta in $x(t_1)$, lo stato in cui si arriva da $x(t_0)$ con quell'ingresso, e si riparte da lì con l'ingresso su $[t_1,t)$. Lo stato è una buona scelta se, per ogni $t_1$, il risultato è quello che si ottiene in un solo tratto:

$$F\bigl(t,t_1,x(t_1),u\big|_{[t_1,t)}\bigr)=F\bigl(t,t_0,x(t_0),u\big|_{[t_0,t)}\bigr)$$

È la proprietà di separazione: il passato prima di $t_1$ si può dimenticare, perché è già nello stato.

Nel secchio, $u$ è la portata con cui si versa e $x$ la quantità d'acqua. Nella figura le due storie sono diverse, ma arrivano alla stessa quantità in $t_1$: da lì in poi non si distinguono.

Due storie, lo stesso stato

$x(t_1)$$t$$x$

• storia 1
• storia 2, da secchio vuoto

$x(t_0)$ della storia 1

1

$u$ della storia 1, prima di $t_1$

0,5

$u$ dopo $t_1$

0,8

Ingresso, stato e uscita

La storia aggiorna lo stato, e con lo stato si ricava l'uscita. Le due cose sono separate: come evolve il sistema e come se ne osserva l'effetto.

$$x(t)=\varphi\bigl(t,t_0,x(t_0),u\big|_{[t_0,t)}\bigr),\qquad y(t)=\eta\bigl(t,x(t),u(t)\bigr)$$

$\varphi$ dà lo stato in $t$, $\eta$ l'uscita. L'intervallo d'ingresso $[t_0,t)$ esclude $t$: quello che succede in $t$ non influenza istantaneamente $x(t)$, e si mette nell'uscita, dove compare $u(t)$.

$u$Evoluzione dello stato$x$Uscita$y$

Un effetto istantaneo è raro nei sistemi reali, perché ogni componente impiega tempo a reagire. In un modello, però, una componente molto più rapida delle altre si approssima come istantanea: nella stufa elettrica, il ritardo dell'interruttore si trascura rispetto al tempo che serve a scaldare.

Stazionarietà

Le funzioni $\varphi$ e $\eta$ potrebbero dipendere dal tempo in modo esplicito: a parità di stato e ingresso, uscite diverse in momenti diversi. Se non ne dipendono, il sistema è stazionario.

Per verificarlo si ripete lo stesso esperimento spostato di $\Delta$: stesso stato iniziale, intervallo $[t_0+\Delta,t+\Delta)$ e ingresso $\Delta u\big|_{[t_0,t)}$, cioè il profilo $u\big|_{[t_0,t)}$ spostato di $\Delta$: $s\mapsto u(s-\Delta)$, per $s\in[t_0+\Delta,t+\Delta)$. Non basta prendere un altro tratto della funzione $u$: va spostato il profilo già usato. L'esperimento traslato dà

$$x'(t+\Delta)=\varphi\bigl(t+\Delta,t_0+\Delta,x(t_0),\Delta u\big|_{[t_0,t)}\bigr)$$

e il sistema è stazionario se la sua uscita $y'$ ripete quella dell'originale, $y'(t+\Delta)=y(t)$, per ogni $\Delta\in\mathbb R$. Con $\Delta=-t_0$ l'esperimento comincia in $0$ e $t_0$ sparisce: contano lo stato iniziale, l'ingresso e il tempo trascorso $t-t_0$. Con $\Delta=-t$ anche $\eta$ perde il tempo.

$$x(t)=\varphi\bigl(t-t_0,x(t_0),u\big|_{[t_0,t)}\bigr),\qquad y(t)=\eta\bigl(x(t),u(t)\bigr)$$

Se l'acqua impiega un'ora a bollire, importa che sia passata un'ora, non se si è cominciato alle undici o a mezzogiorno. Si lavora sempre con sistemi stazionari. La stazionarietà dipende anche dal modello: il tempo che un aereo impiega ad accelerare cambia se il carburante si consuma, ma il sistema diventa stazionario se nel modello si mette anche la dinamica del carburante. Un sistema non stazionario può inoltre essere quasi stazionario su un intervallo breve.

Lo stesso esperimento, spostato nel tempo

Ingresso

$t$

• esperimento originale
• esperimento traslato

Quantità d'acqua

$t$

• esperimento originale
• esperimento traslato

$\Delta$

2,5

$u$ (portata)

1

$x(t_0)$

1

Linearità

Una funzione $f$ è lineare se $f(x_1)=f_1$ e $f(x_2)=f_2$ implicano $f(x_1+x_2)=f_1+f_2$. Qui la funzione ha due argomenti, stato e ingresso, e la combinazione va fatta su entrambi insieme, non cambiandone uno solo. Il sistema è lineare se, con $x_1(t)=\varphi\bigl(t-t_0,x_1(t_0),u_1\big|_{[t_0,t)}\bigr)$ e $x_2(t)$ analogo,

$$\varphi\bigl(t-t_0,\alpha x_1(t_0)+\beta x_2(t_0),\alpha u_1+\beta u_2\bigr)=\alpha x_1(t)+\beta x_2(t)$$

per ogni scelta di stati, ingressi e coefficienti $\alpha,\beta$. Lo stesso vale per l'uscita:

$$\alpha\,\eta(x_1,u_1)+\beta\,\eta(x_2,u_2)=\eta(\alpha x_1+\beta x_2,\alpha u_1+\beta u_2)$$

Per poter combinare, stati e ingressi devono stare in spazi lineari: $x(t)\in X\subseteq\mathbb R^n$, $u(t)\in U\subseteq\mathbb R^p$, e $u\big|_{[t_0,t]}$ in uno spazio $\mathcal U$ di funzioni. L'uscita raccoglie ciò che interessa osservare, $y(t)\in Y\subseteq\mathbb R^q$, e può avere meno componenti dello stato: in un'automobile che parcheggia può bastare la posizione.

Scegliendo $x_1(t_0)=x(t_0)$ con $u_1=0$, poi $x_2(t_0)=0$ con $u_2=u$, e $\alpha=\beta=1$, la risposta si scompone:

$$\varphi(t-t_0,x(t_0),u)=\varphi(t-t_0,x(t_0),0)+\varphi(t-t_0,0,u)$$

Il primo termine è l'evoluzione libera, dovuta solo allo stato iniziale; il secondo l'evoluzione forzata, dovuta solo all'ingresso. Nel secchio, l'acqua che c'era più quella versata.

Evoluzione libera più forzata

$t$$x$

• evoluzione libera
• evoluzione forzata
• stato iniziale e ingresso insieme

$x(t_0)$

1,5

$u$ (portata)

0,6