Operazioni e segnali elementari

L'idea

Un segnale si trasforma in due modi: cambiando il suo argomento (traslazione, scalatura) oppure combinandolo con altri segnali (somma, prodotto). Gli esercizi usano due segnali di base:

$$\begin{gathered} \operatorname{rect}(t)=\begin{cases}1,&|t|<\frac12\\ \frac12,&|t|=\frac12\\ 0,&|t|>\frac12\end{cases}\\[0.6em] \operatorname{tri}(t)=\begin{cases}1+t,&t\in[-1,0]\\ 1-t,&t\in[0,1]\\ 0,&\text{altrimenti}\end{cases} \end{gathered}$$

La rect vale 1 con gli estremi esclusi e, per convenzione, $1/2$ nei punti di discontinuità. La tri si scrive anche $1-|t|$ per $|t|\le1$; è diversa da zero per $|t|<1$, la rect per $|t|\le 1/2$.

Traslazione e scalatura

Traslazione: $z(t)=x(t-\tau)$. Se $\tau>0$ il segnale si sposta a destra (ritardo), se $\tau<0$ a sinistra (anticipo): $x(t+2)$ è $x$ spostato di 2 a sinistra.

Scalatura dell'asse: $z(t)=x(\alpha t)$ con $\alpha>0$. Se $\alpha>1$ il segnale si contrae, se $\alpha<1$ si dilata. Un fattore davanti al segnale, come in $2\operatorname{rect}(t/3)$, cambia solo l'altezza.

Per non sbagliare si segue un punto caratteristico, per esempio un salto o un vertice: si cerca il $t$ in cui l'argomento assume il valore che il punto aveva nel segnale di partenza.

• $\operatorname{rect}(t/3)$: il salto in $-1/2$ si trova dove $t/3=-1/2$, cioè in $t=-3/2$. La rect va da $-3/2$ a $3/2$.
• $\operatorname{tri}(t+1)$: il vertice sinistro, in $-1$, si trova dove $t+1=-1$, cioè in $t=-2$. La tri si sposta di 1 a sinistra, con la stessa larghezza.

Quando traslazione e scalatura compaiono insieme, si raccoglie il coefficiente di $t$, così la traslazione resta isolata:

$$\operatorname{tri}(2t-3)=\operatorname{tri}\Bigl(2\bigl(t-\tfrac32\bigr)\Bigr)$$

È la forma $x\bigl(\alpha(t-\tau)\bigr)$ con $\alpha=2$ e $\tau=3/2$. Il centro va in $\tau$ e la durata si divide per $\alpha$: centro $3/2$, durata $1$. Si procede un'operazione per volta: prima il centro, poi la larghezza. L'altezza non cambia, perché la scalatura agisce sull'argomento.

Esempi di traslazione e scalatura

$z(t)$

rect(t/3)2 rect(t/3)tri(t + 1)tri(2t − 3)

$t$

• $x(t)$
• $z(t)$

Altro esempio:

$$\operatorname{rect}\Bigl(\frac t{10}-4\Bigr)=\operatorname{rect}\Bigl(\frac1{10}(t-40)\Bigr)$$

Ha $\alpha=1/10$ e $\tau=40$: centro 40, durata 10, supporto $[35,45]$.

Supporto e durata

Il supporto di $x(t)$ è l'insieme dei $t$ in cui $|x(t)|>0$. La durata è la misura del supporto: 1 per la rect, 2 per la tri. La traslazione conserva la durata. La scalatura con $\alpha$ la divide per $\alpha$: la compressione di un fattore 2 dimezza la durata della tri, che passa da 2 a 1, e $\operatorname{tri}(2t-3)$ ha supporto $[1,2]$.

Un segnale come la gaussiana $Ae^{-\alpha t^2}$ tende a zero senza annullarsi mai. Allora il supporto è l'insieme dei $t$ in cui $|x(t)|$ è non trascurabile, e bisogna fissare la soglia sotto la quale il segnale si considera trascurabile: la durata dipende da questa scelta.

Per una sequenza il supporto è l'insieme degli indici $n$ in cui $|x_n|>0$ (o non trascurabile) e la durata è la sua misura: un numero intero.

Somma e prodotto

Somma e prodotto si fanno punto per punto: $z(t)=x(t)+y(t)$ e $z(t)=x(t)\,y(t)$. Si disegnano $x$ e $y$ con lo stesso asse dei tempi e la stessa scala, poi un terzo grafico in cui si calcola l'operazione per ogni $t$.

Somma. Se i supporti sono distinti, la somma riporta i due tratti così come sono. Se si sovrappongono, nella zona comune si sommano i valori. Esempio:

$$z(t)=\operatorname{rect}\Bigl(\frac t2-4\Bigr)+\operatorname{tri}(t+2)$$

Poiché $t/2-4=(t-8)/2$, la rect ha $\alpha=1/2$ e $\tau=8$: centro 8, durata 2, supporto $[7,9]$. La tri ha centro $-2$ e supporto $[-3,-1]$. I supporti sono distinti.

Somma con supporti distinti

I due addendi

$t$

• $\mathrm{rect}(t/2-4)$
• $\mathrm{tri}(t+2)$

La somma

$t$

• $z(t)$

Prodotto con una rect. Fuori dall'intervallo in cui la rect vale 1 il prodotto è nullo, qualunque sia l'altro segnale. Dentro, l'altro segnale resta com'è. Quindi si riportano i bordi della rect sul grafico del prodotto, si cancella ciò che sta fuori e si ricopia il tratto rimasto. La rect si comporta da finestra: lascia passare il segnale dove è alta e annulla il resto. Su questa idea si basano i filtri.

Esempio:

$$z(t)=\operatorname{rect}\Bigl(t+\frac12\Bigr)\cdot 3\operatorname{tri}\Bigl(\frac t2\Bigr)$$

La rect vale 1 su $(-1,0)$. La tri $3\operatorname{tri}(t/2)$ ha supporto $[-2,2]$ e massimo 3. Il prodotto è il tratto di questa tri tra $-1$ e $0$, da $3/2$ a $3$, e zero altrove.

Nei punti di discontinuità ($t=-1$ e $t=0$) ci sono due scelte, nessuna sbagliata, ma va dichiarata. La più usata prende il valore dell'altro segnale ($3/2$ e $3$). L'altra moltiplica per il valore convenzionale $1/2$ della rect ($3/4$ e $3/2$).

La rect come finestra

Valore nei salti

quello dell'altro segnaleper 1/2, il valore della rect

$t$

• $3\mathrm{tri}(t/2)$
• $\mathrm{rect}(t+\frac{1}{2})$
• $z(t)$

Seno cardinale

Il seno cardinale è il prodotto di due segnali, il seno $\sin(\pi t)$ e l'iperbole $1/(\pi t)$:

$$\operatorname{sinc}(t)=\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$$

• Il seno si annulla in ogni intero, quindi $\operatorname{sinc}(t)=0$ per $t$ intero e diverso da 0.
• L'iperbole tende a zero per $t\to\pm\infty$ e ne modula l'ampiezza: la sinc decresce come $1/t$, oscillando.
• In $t=0$ il rapporto è indeterminato. Il limite notevole dà il valore:

$$\lim_{t\to0}\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}=1 \quad\Rightarrow\quad \operatorname{sinc}(0)=1$$

La sinc come prodotto

$1$$t$

• $\sin (\pi t)$
• $1/(\pi t)$
• $\mathrm{sinc}(t)$

Segnali a tempo discreto

Rect, tri, sinc, gaussiana ed esponenziale sono a tempo continuo: $t$ varia in $\mathbb R$. Un segnale a tempo discreto, o sequenza, è definito solo sugli indici interi $n$. Si scrive $x_n$ oppure $x[n]$: sono equivalenti, e si sceglie la più comoda.

Un segnale reale come la voce è continuo nel tempo. Registrato ed elaborato in Python diventa un array di valori presi in istanti discreti: per quanto fitto, un array non rappresenta un segnale a tempo continuo. Somme, prodotti, convoluzioni e filtri calcolati su un array sono le versioni discrete di quelle operazioni. Per il prodotto la differenza è minima, per le altre operazioni cambia l'espressione.

Impulso a tempo discreto:

$$\delta_n=\begin{cases}1,&n=0\\ 0,&n\ne0\end{cases}$$

La traslazione è analoga al caso continuo: $y_n=x_{n-M}$ sposta la sequenza a destra se $M>0$ e a sinistra se $M<0$. Quindi $\delta_{n-2}$ ha il suo picco in $n=2$ e $\delta_{n+1}$ in $n=-1$, perché $n+1=0$ per $n=-1$.

Sommando impulsi traslati si costruiscono sequenze:

$$\begin{aligned} z_n&=\sum_{k=1}^{3}\delta_{n+k}\\ &=\delta_{n+1}+\delta_{n+2}+\delta_{n+3} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} z_n&=\sum_{k=1}^{3}k\,\delta_{n+2k}\\ &=\delta_{n+2}+2\delta_{n+4}+3\delta_{n+6} \end{aligned}$$

La prima ha tre picchi di altezza 1 in $-1$, $-2$, $-3$. La seconda ha picchi in $-2$, $-4$, $-6$, alti 1, 2, 3: il coefficiente davanti all'impulso è la sua altezza, come il fattore verticale nel caso continuo.

Impulsi traslati e scalati

$n$

• ${\delta }_{n+1}+{\delta }_{n+2}+{\delta }_{n+3}$

$n$

• ${\delta }_{n+2}+2{\delta }_{n+4}+3{\delta }_{n+6}$

Campionamento. Per passare da un segnale continuo a uno discreto si fissa un passo $T$ e si tengono i valori agli istanti $nT$. La sequenza dei campioni è una somma di impulsi traslati e scalati, come quelle appena viste. Se dai campioni si può tornare al segnale continuo senza perdere informazione dipende dalla frequenza associata a $T$: lo stabilisce il teorema del campionamento.

Sequenze rettangolare e triangolare. Hanno la forma generale della rect e della tri, ma sono definite solo sugli indici interi. Non richiedono convenzioni ai bordi: ogni valore è assegnato.

$$\begin{gathered} x_n=\begin{cases}1,&n=0,1,\dots,N-1\\ 0,&\text{altrimenti}\end{cases}\\[0.6em] x_n=\begin{cases}N-|n|,&-N<n<N\\ 0,&\text{altrimenti}\end{cases} \end{gathered}$$

La rettangolare ha durata $N$, la triangolare $2N-1$: $N-|n|$ si annulla in $n=\pm N$.