Ritardi di trasmissione e propagazione

Due ritardi per ogni collegamento

Un pacchetto che attraversa un collegamento impiega tempo in due modi distinti. Prima il trasmettitore mette sul collegamento tutti i suoi bit: ci vuole il ritardo di trasmissione. Poi il segnale che porta i bit percorre il mezzo: ci vuole il ritardo di propagazione. Gli esercizi sommano i due contributi, collegamento per collegamento.

• $L$ è la lunghezza del pacchetto, in bit.
• $R$ è il bit rate del collegamento, in bit/s.
• $d$ è la lunghezza del collegamento, $s$ la velocità del segnale nel mezzo, con $1/s=5\ \mu\text{s/km}$.

$$\begin{aligned} d_{\text{trasm}}&=\frac{L}{R}\\ d_{\text{prop}}&=\frac{d}{s} \end{aligned}$$

Il primo bit parte all'istante $0$ e arriva dopo $d_{\text{prop}}$. L'ultimo parte solo dopo $d_{\text{trasm}}$, perché i bit escono uno dopo l'altro, e poi viaggia a sua volta per $d_{\text{prop}}$. Il tempo $D$ fra la trasmissione del primo bit e la ricezione dell'ultimo è quindi la somma:

$$D=d_{\text{trasm}}+d_{\text{prop}}$$

Esempio. Un pacchetto di $L=2000$ bit su un collegamento di $d=500$ km a $R=100$ kb/s, con $1/s=5\ \mu\text{s/km}$:

$$\begin{aligned} d_{\text{trasm}}&=\frac{2000}{100\,000}=0{,}02\ \text{s}=20\ \text{ms}\\ d_{\text{prop}}&=500\ \text{km}\cdot 5\ \mu\text{s/km}=2{,}5\ \text{ms}\\ D&=20+2{,}5=22{,}5\ \text{ms} \end{aligned}$$

Il diagramma spazio-tempo

Un asse è lo spazio, l'altro il tempo. Qui il tempo scorre verso destra e ogni nodo è una linea orizzontale; i nodi si susseguono verso il basso, nell'ordine del percorso. Il pacchetto di $L$ bit è una fila di $L$ rettangoli: sulla linea del trasmettitore occupa un tratto lungo $d_{\text{trasm}}$. Ogni bit raggiunge il ricevitore lungo una linea obliqua: le linee dei bit hanno tutte la stessa pendenza, e ciascuna avanza di $d_{\text{prop}}$ fra un nodo e l'altro.

• Se $R$ aumenta, i bit escono più in fretta e il pacchetto si comprime nel tempo. Se $R$ diminuisce, si allarga. Cambia $d_{\text{trasm}}$, non la velocità del segnale.
• Se $d$ si dimezza, $d_{\text{prop}}$ si dimezza. Il pacchetto resta lungo uguale, perché $d_{\text{trasm}}$ non dipende da $d$.

$D$ è l'intervallo fra l'inizio della trasmissione e la fine della ricezione: nel disegno, la somma di $d_{\text{prop}}$ e dell'estensione del pacchetto. Il disegno dà quindi lo stesso risultato del conto.

Un pacchetto di 2000 bit su un collegamento

tempoTXRX$D$

$R$ (kb/s)

100

$d$ (km)

500

Andata e ritorno

Un pacchetto di $L=10\,000$ bit parte dal nodo A verso B, a $R=100$ kb/s su $d=100$ km, con $s=200\,000$ km/s. B lo ritrasmette ad A, allo stesso bit rate, solo dopo averlo ricevuto tutto: è lo store and forward. Si cerca $D$ fra la trasmissione del primo bit in A e la ricezione dell'ultimo, sempre in A.

Le due trasmissioni non si sovrappongono, perché B non può cominciare prima che l'ultimo bit sia arrivato. Anche le due propagazioni si sommano:

$$D=2\,\frac{L}{R}+2\,\frac{d}{s}$$

Andata e ritorno di 10 000 bit su 100 km

tempoABA$D$

${\log }_{10}R$, $R$ in bit/s

5

$$\begin{aligned} d_{\text{trasm}}&=\frac{10\,000}{100\,000}=0{,}1\ \text{s}\\ d_{\text{prop}}&=\frac{100}{200\,000}=0{,}5\ \text{ms}\\ D&=2\cdot 0{,}1\ \text{s}+2\cdot 0{,}5\ \text{ms}=201\ \text{ms} \end{aligned}$$

Con $R=10$ Gb/s il pacchetto si comprime molto nel disegno spazio-tempo: $d_{\text{trasm}}=10^4/10^{10}=1\ \mu\text{s}$, mentre $d_{\text{prop}}$ resta $0{,}5$ ms.

$$D=2\cdot 1\ \mu\text{s}+2\cdot 0{,}5\ \text{ms}=1{,}002\ \text{ms}$$

Il bit rate è cresciuto di $10^5$ volte, $D$ è sceso solo da 201 ms a circa 1 ms: resta la propagazione.

Quanta distanza serve per lo stesso effetto? Si lascia $R=100$ kb/s e si impone $D=1{,}002$ ms, con la distanza come incognita. Dalla formula dell'andata e ritorno:

$$\begin{aligned} d&=\frac{s}{2}\Bigl(D-\frac{2L}{R}\Bigr)\\ &=100\,000\,\tfrac{\text{km}}{\text{s}}\,(0{,}001002-0{,}2)\ \text{s}\\ &\approx-19\,900\ \text{km} \end{aligned}$$

La distanza è negativa: le sole due trasmissioni durano già 200 ms, più del valore richiesto. Le due componenti pesano in modo diverso: per un round trip breve non basta alzare $R$, conta anche la distanza dall'interlocutore o dal server.

Più collegamenti e due pacchetti

Due pacchetti da $L=512$ bit, pronti insieme in R1 all'istante $0$, devono arrivare ad A attraverso tre collegamenti. Ciascuno ha un bit rate $C_i$ e un ritardo di propagazione $\tau_i$.

Il percorso dei due pacchetti

R1R2R3A$C_1=128$, ${\tau }_1=1$$C_2=256$, ${\tau }_2=2$$C_3=512$, ${\tau }_3=1$

Il primo pacchetto attraversa i tre collegamenti uno dopo l'altro, e su ognuno paga trasmissione e propagazione:

$$D_1=\sum_{i=1}^{3}\Bigl(\frac{L}{C_i}+\tau_i\Bigr)$$

Con $L/C_1=4$ ms, $L/C_2=2$ ms, $L/C_3=1$ ms:

$$D_1=(4+1)+(2+2)+(1+1)=11\ \text{ms}$$

Il secondo pacchetto è pronto in R1 nello stesso istante, ma il collegamento 1 è occupato dal primo per $L/C_1=4$ ms: parte da R1 a $t=4$ ms. Poi segue lo stesso percorso. I collegamenti successivi sono più veloci: quando arriva in R2 il primo ha già lasciato il collegamento 2, e lo stesso vale in R3. Non aspetta più, quindi

$$D_2=D_1+\frac{L}{C_1}=11+4=15\ \text{ms}$$

Con bit rate diversi, anche il tempo di trasmissione cambia da un collegamento all'altro: il pacchetto occupa 4, 2 e 1 ms, e un disegno con pacchetti lunghi uguali vale solo se i $C_i$ sono uguali.

Due pacchetti da 512 bit sui tre collegamenti

tempoR1R2R3A$D_2$

$C_2$ (kb/s)

256

Collo di bottiglia

Se un collegamento intermedio è più lento di quelli che lo precedono, il secondo pacchetto lo trova ancora occupato dal primo e deve aspettare in coda. Quel collegamento è il collo di bottiglia.

Sia $C_1=C_3$ e $C_2=C_1/2$. Sul collegamento 2 il pacchetto dura $L/C_2=2L/C_1$, il doppio. Per il primo pacchetto la formula di $D_1$ vale ancora, con i nuovi $C_i$. Per il secondo no: arriva in R2 mentre il primo trasmette ancora sul collegamento 2, e riparte solo quando questo ha finito. Aspetta $L/C_1$ in R1 e altrettanto in R2, e il suo tempo di arrivo supera quello del primo di

$$D_2-D_1=\frac{L}{C_2}$$

Con tre pacchetti, il terzo aspetta anche il secondo: escono dal collegamento 2 a intervalli di $L/C_2$. Nella figura sopra, con $C_2=64$ kb/s $=C_1/2$, il secondo pacchetto arriva $L/C_2=8$ ms dopo il primo.